3.1 Limites x→±∞

3.1 Limites $x \to \pm \infty$

On va d’abord parler des limites de fonctions lorsque $x$ tend vers $+ \infty$ ou $- \infty$ , car cette situation est en analogie avec les limites de suites. Pour pouvoir étudier le comportement de $f$ lorsque $x \to \pm \infty$ , il faut que $f$ soit définie en tout point aribtrairement loin de l’origine.

Définition 3.1.

On dit que $f$ est définie sur un voisinage de $+ \infty$ s’il existe $u \in R$ tel que $[u, \infty [\subset D_{f}$ .
On dit que $f$ est définie sur un voisinage de $- \infty$ s’il existe $v \in R$ tel que $] - \infty, v] \subset D_{f}$ .

Exemples 3.2.

$\frac{1}{x}$ est définie sur $R^{*}$ , et donc sur un voisinage de $+ \infty$ , donné par $] 0, + \infty [$ , ainsi que sur un voisinage de $- \infty$ , donné par $] - \infty, 0 [$ .
$tan (x)$ est définie sur $R ∖ {\frac{π}{2} + k π, k \in Z}$ , et donc sur aucun voisinage de l’infini.

Avant de définir formellement $lim_{x \to + \infty} f (x)$ , parlons de l’idée intuitive derrière: $f$ tend vers une limite $L$ lorsque $x \to + \infty$ si $f (x)$ devient arbitrairement proche de $L$ lorsque $x$ est suffisamment grand. Il faut donc que, pour $ε > 0$ arbitrairement petit, on puisse trouver une valeur de $x$ suffisamment grande à partir de laquelle $f (x)$ est $ε$ -proche de $L$ .

Définitions 3.3.

Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage de $+ \infty$ , et soit $L \in R$ .
$x \to + \infty lim f (x) = L$ si $\forall ε > 0$ , $\exists N > 0$ tel que $∣ f (x) - L ∣ ⩽ ε$ $\forall x ⩾ N$ .
Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage de $- \infty$ , et soit $L \in R$ .
$x \to - \infty lim f (x) = L$ si $\forall ε > 0$ , $\exists N < 0$ tel que $∣ f (x) - L ∣ ⩽ ε$ $\forall x ⩽ N$ .

Remarquons que la valeur de $N$ va en général dépendre de $ε$ .

Exemples 3.4.

Soit $f (x) := \frac{x}{3 x - 2}, D_{f} = R \ {\frac{2}{3}}$ . Montrons que $x \to + \infty lim f (x) = \frac{1}{3}$ .
Soit $ε > 0$ . On a
$f (x) - \frac{1}{3} = \frac{x}{3 x - 2} - \frac{1}{3} = \frac{2}{3 ( 3 x - 2 )} = \frac{2}{3∣3 x - 2∣} .$
Donc
$f (x) - \frac{1}{3} ⩽ ε ⟺ \frac{2}{3∣3 x - 2∣} ⩽ ε ⟺ ∣3 x - 2∣ ⩾ \frac{2}{3 ε} .$
Puisque on s’intéresse à $x \to + \infty$ , on peut poser $x > \frac{2}{3}$ (en effet, on cherche à trouver un voisinage de l’infini dans lequel $f (x)$ est $ε$ -proche de $\frac{1}{3}$ . Imposer une condition supplémentaire du type “ $x$ est assez grand” ne changera rien à l’existence d’un tel voisinage de l’infini). On a donc
$f (x) - \frac{1}{3} ⩽ ε ⟺ 3 x - 2 ⩾ \frac{2}{3 ε} ⟺ x > \frac{2}{9 ε} + \frac{2}{3} .$
et donc on peut choisir $N := \frac{2}{9 ε} + \frac{2}{3}$ . En effet, ce $N$ satisfait
$x > \frac{2}{9 ε} + \frac{2}{3} ⟹ f (x) - \frac{1}{3} ⩽ ε .$
On en conclut que $x \to + \infty lim f (x) = \frac{1}{3}$ .
Montrons que $lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x ^{2}} = 0$ .
Soit $ε > 0$ . On a
$\frac{1}{x ^{2}} - 0 ⩽ ε ⟺ \frac{1}{x ^{2}} ⩽ ε ⟺ x^{2} ⩾ \frac{1}{ε} ⟺ x \in] - \infty, \frac{- 1}{ε}] \cup [\frac{1}{ε}, \infty [,$
donc si on choisit $N ⩽ \frac{- 1}{ε}$ , on aura que $\forall x ⩽ N$ , $\frac{1}{x ^{2}} - 0 ⩽ ε$ .

Etant donnée une suite $(x_{n})$ , en appliquant une fonction $f$ à chaque terme, on obtient une nouvelle suite $(f (x_{n}))$ . On remarque que si $lim_{x \to \infty} f (x) = L$ , alors pour n’importe quelle suite de nombres $(x_{n})$ avec $x_{n} \to \infty$ , on a $f (x_{n}) \to L$ . La réciproque est vraie aussi !

Théorème 3.5 (Caractérisation par les suites).

Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage de $+ \infty$ .
$x \to + \infty lim f (x) = L ⟺$ pour toute suite $(x_{n})$ telle que $x_{n} \to \infty$ , on a $n \to \infty lim f (x_{n}) = L$ .
Soit $f$ une fonction définie sur un voisinage de $- \infty$ .
$x \to - \infty lim f (x) = L ⟺$ pour toute suite $(x_{n})$ telle que $x_{n} \to - \infty$ , on a $n \to \infty lim f (x_{n}) = L$ .

Montrons la version

x \to + \infty

(la version

x \to - \infty

peut être montrée de manière analogue).

Voici la direction “facile”: supposons d’abord que

lim_{x \to + \infty} f (x) = L

. Par définition, ceci veut dire que

\forall ε > 0

\exists N = N (ε) > 0

tel que

∣ f (x) - L ∣ ⩽ ε

\forall x ⩾ N

. Soit

(x_{n})

une suite telle que

x_{n} \to \infty

, et soit

ε > 0

. Il nous faut trouver un indice à partir duquel

f (x_{n})

est

ε

-proche de

L

.

Puisque

x_{n} \to \infty

, il existe un indice

N_{0}

à partir duquel

x_{n} ⩾ N (ε)

. Pour

n ⩾ N_{0}

, on a alors

x_{n} > N (ε)

et donc

∣ f (x_{n}) - L ∣ ⩽ ε

N_{0}

est donc l’indice qu’on voulait trouver.

Pour l’autre direction, on va montrer la contraposée: si

lim_{x \to \infty} f (x) \neq = L

, alors il existe une suite

(x_{n})

telle que

x_{n} \to + \infty

, mais

lim_{n \to \infty} f (x_{n}) \neq = L

. D’abord, explicitons l’assertion

lim_{x \to \infty} f (x) \neq = L

lim_{x \to \infty} f (x) \neq = L

veut dire:

\exists ε > 0

tel que

\forall N > 0

\exists x ⩾ N

tel que

∣ f (x) - L ∣ > ε .

Supposons donc que

lim_{x \to \infty} f (x) \neq = L

. On aimerait construire une suite

(x_{n})

telle que

x_{n} \to \infty

lim_{n \to \infty} f (x_{n}) \neq = L

. On sait qu’il existe

ε > 0

tel que

\forall N > 0

\exists x ⩾ N

tel que

∣ f (x) - L ∣ > ε

En prenant $N = 1$ d’abord, on aura donc $x_{1} ⩾ 1$ tel que $∣ f (x_{1}) - L ∣ > ε$ .
En prenant $N = 2$ , on aura $x_{2} ⩾ 2$ tel que $∣ f (x_{2}) - L ∣ > ε$ .
En prenant $N = 3$ , on aura $x_{3} ⩾ 3$ tel que $∣ f (x_{3}) - L ∣ > ε$ .
etc.

En continuant de cette manière, on a construit une suite

(x_{n})

telle que

x_{n} ⩾ n

, et donc

x_{n} \to \infty

, et

∣ f (x_{n}) - L ∣ > ε

\forall n

. Ainsi,

lim_{n \to \infty} f (x_{n}) \neq = L

puisque

f (x_{n})

est toujours à distance

> ε

L

, et on a donc prouvé la contraposée.

□

Ce théorème est surtout utile pour montrer qu’une fonction ne tend pas vers une certaine limite $L \in R$ lorsque $x \to \pm \infty$ : il suffit de trouver une suite $(x_{n})$ qui tend vers $\pm \infty$ mais telle que $f (x_{n})$ ne tend pas vers $L$ .

Exemple 3.6.

Montrons que

lim_{x \to \infty} sin (x)

n’existe pas.

Soit

(x_{n})

la suite définie par

x_{n} = \frac{π}{2} + π n

. On a bien que

x_{n} + \to \infty

. Or

sin (x_{n}) = (- 1)^{n + 1}

, qui n’a pas de limite lorsque

n \to \infty

. Le théorème ci-dessus implique que la limite

lim_{x \to \infty} sin (x)

n’existe pas. (Parce que si il existait

L \in R

tel que

lim_{x \to \infty} sin (x) = L

, alors on devrait aussi avoir

lim_{n \to \infty} sin (x_{n}) = L

Comme pour les suites, on peut définir la divergence à l’infini:

Définitions 3.7.

Soit $f$ définie sur un voisinage de $+ \infty$ .
- On dit que $x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ si $\forall M > 0,$ $\exists N$ tel que $f (x) ⩾ M$ $\forall x ⩾ N$ .
- On dit que $x \to + \infty lim f (x) = - \infty$ si $\forall M < 0,$ $\exists N$ tel que $f (x) ⩽ M$ $\forall x ⩾ N$ .
Soit $f$ définie sur un voisinage de $- \infty$ .
- On dit que $x \to - \infty lim f (x) = + \infty$ si $\forall M > 0,$ $\exists N$ tel que $f (x) ⩾ M$ $\forall x ⩽ N$ .
- On dit que $x \to - \infty lim f (x) = - \infty$ si $\forall M < 0,$ $\exists N$ tel que $f (x) ⩽ M$ $\forall x ⩽ N$ .

Exemples 3.8.

Montrons que
$x \to - \infty lim x^{3} = - \infty .$
Soit $M < 0$ . On a $x^{3} ⩽ M ⟺ x ⩽ 3 M$ . On peut donc choisir par exemple $N := 3 M$ , qui satisfait $x^{3} ⩽ M$ $\forall x ⩽ N$ .
Montrons que
$x \to - \infty lim x^{2} = + \infty .$
Soit $M > 0$ . On a
$x^{2} ⩾ M ⟺ x ⩽ - M ou x ⩾ M .$
On peut donc choisir un $N ⩽ - M$ , il satisfait $x^{2} ⩾ M$ $\forall x ⩽ N$ .

3.1.1 Calculs de limites

Pour chacun des types de limite introduit ci-dessus, toutes les propriétés énoncées pour limites de suites restent valables. De plus, les méthodes introduites pour étudier les limites combinées et indéterminations de suites, s’appliquent aussi aux limites de fonctions lorsque $x \to \pm \infty$ .

Exemple 3.9.

Pour calculer

x \to \infty lim (6 x - 4 x sin (7 x^{2} + 1)) = x \to \infty lim x (6 - 4 sin (7 x^{2} + 1)),

on sait que

lim_{x \to \infty} x = \infty

et que pour tout

x

6 - 4 sin (7 x^{2} + 1) ⩾ 6 - 4 = 2

. On a donc que

x \to \infty lim (6 x - 4 x sin (7 x^{2} + 1)) = + \infty

Exemple 3.10.

Pour calculer

x \to - \infty lim (x^{2} - x^{3}),

on remarque que le terme dominant est

x^{3}

, et donc on peut écrire

x^{2} - x^{3} = \to - \infty x^{3} \to - 1 (- 1 + \frac{1}{x}) .

Comme

- 1 < 0

, on peut conclure:

x \to - \infty lim (x^{2} - x^{3}) = + \infty .

Ce dernier exemple montre qu’en général, dans une limite $x \to \pm \infty$ , le comportement d’un polynôme est régi par le terme de plus grand degré.

Lorsqu’on étudie des quotients de polynômes, on pourra mettre les termes dominants en évidence.

Exemples 3.11.

$x \to \infty lim \frac{x ^{2} - x ^{3}}{4 x ^{3} + 50 x ^{2}} = x \to \infty lim \frac{x ^{3} ( \frac{1}{x} - 1 )}{x ^{3} ( 4 + \frac{50}{x} )} = \frac{lim _{x \to \infty} ( \frac{1}{x} - 1 )}{lim _{x \to \infty} ( 4 + \frac{50}{x} )} = \frac{- 1}{4}$
$x \to \infty lim \frac{3 x ^{2} - 2 x + 1}{5 x ^{5} + 2} = x \to \infty lim \frac{x ^{2} ( 3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}} )}{x ^{5} ( 5 + \frac{2}{x ^{5}} )} = x \to \infty lim \frac{1}{x ^{3}} \cdot \frac{3 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{2}}}{5 + \frac{2}{x ^{5}}} = 0 \cdot \frac{3}{5} = 0$
$x \to - \infty lim \frac{8 x ^{6}}{x ^{3} + 4 x ^{2} + 3} = x \to - \infty lim x^{3} \cdot \frac{8}{1 + \frac{4}{x} + \frac{3}{x ^{3}}} = - \infty$
Même lorsque les expressions apparaissant dans le quotient ne sont pas exactement des polynômes,
$x \to + \infty lim \frac{4 x ^{4} + 2 x}{3 x ^{3} + 3 x} = x \to + \infty lim \frac{∣ x ∣ 4 1 + \frac{2}{x ^{3}}}{x 1 + \frac{3}{x ^{2}}} = x \to + \infty lim \frac{4 1 + \frac{2}{x ^{3}}}{1 + \frac{3}{x ^{2}}} = \frac{4 1 + lim _{x \to + \infty} \frac{2}{x ^{3}}}{1 + lim _{x \to + \infty} \frac{3}{x ^{2}}} = 1.$
On a utilisé le fait que $∣ x ∣ = x$ lorsque $x > 0$ (ce qui est le cas puisque $x \to + \infty$ ).

Comme on sait, l’utilisation du conjugué s’avère utile lorsqu’on a des différences de racines:

Exemple 3.12.

x \to - \infty lim (x^{2} - 3 x + x) = x \to - \infty lim \frac{( x ^{2} - 3 x + x ) ( x ^{2} - 3 x - x )}{( x ^{2} - 3 x - x )} = x \to - \infty lim \frac{- 3 x}{( x ^{2} - 3 x - x )} = x \to - \infty lim \frac{- 3 x}{( ∣ x ∣ 1 - \frac{3}{x} - x )} = x \to - \infty lim \frac{- 3 x}{( - x 1 - \frac{3}{x} - x )} = x \to - \infty lim \frac{3}{( 1 - \frac{3}{x} + 1 )} = \frac{3}{( 1 - lim _{x \to - \infty} \frac{3}{x} + 1 )} = \frac{3}{2} .

On a utilisé le fait que

∣ x ∣ = - x

lorsque

x < 0

(ce qui est le cas puisque

x \to - \infty

Exemple 3.13.

Déterminons la valeur de

p \in R

pour laquelle la limite

x \to + \infty lim x^{2} + a x + p x

est finie.
Si

p ⩾ 0

lim_{x \to + \infty} x^{2} + a x + p x = + \infty

pour tout

a

, donc on doit considérer

p < 0

. Dans ce cas, la limite est une indétermination “

\infty - \infty

”, et on peut écrire

x \to + \infty lim x^{2} + a x + p x = x \to + \infty lim \frac{( x ^{2} + a x + p x ) ( x ^{2} + a x - p x )}{x ^{2} + a x - p x} = x \to + \infty lim \frac{( 1 - p ^{2} ) x ^{2} + a x}{x ^{2} + a x - p x} = x \to + \infty lim \frac{( 1 - p ^{2} ) x ^{2} + a x}{∣ x ∣ 1 + \frac{a}{x} - p x} = x \to + \infty lim \frac{( 1 - p ^{2} ) x + a}{1 + \frac{a}{x} - p} .

On voit que si

1 - p^{2} \neq = 0

, cette limite n’existe pas. Comme on est dans le cas

p < 0

, l’unique valeur possible est donc

p = - 1

. Dans ce cas, la limite est égale à

x \to + \infty lim x^{2} + a x - x = x \to + \infty lim \frac{a}{1 + \frac{a}{x} + 1} = \frac{a}{2} .

Enonçons encore une version du Théorème des deux gendarmes dans le cas des fonctions, dans le cas $x \to \infty$ (la version analogue avec $x \to - \infty$ est semblable):

Théorème 3.14 (Théorème des deux gendarmes).

Soit

f

une fonction définie dans un voisinage de

+ \infty

. S’il existe des fonctions

g

h

, également définies dans un voisinage de

+ \infty

, telles que

$g (x) ⩽ f (x) ⩽ h (x)$ $\forall x$ suffisamment grand, et
$lim_{x \to \infty} g (x) = lim_{x \to \infty} h (x) = L$ ,

alors

lim_{x \to \infty} f (x) = L

Exemple 3.15.

Soit

f (x) = \frac{E ( x )}{x}

, où

E

est la fonction “partie entière”. Montrons que

lim_{x \to \infty} f (x) = 0

.
On a

x - 1 ⩽ E (x) ⩽ x

\forall x

, et donc

\frac{x - 1}{x} ⩽ \frac{E ( x )}{x} ⩽ \frac{x}{x}

\forall x > 0

. On a alors, pour

x > 0

\frac{1}{x} - \frac{1}{x} ⩽ f (x) ⩽ \frac{1}{x} .

On pose

g (x) := \frac{1}{x} - \frac{1}{x}

h (x) := \frac{1}{x}

. On a

x \to \infty lim g (x) = x \to \infty lim \frac{1}{x} - x \to \infty lim \frac{1}{x} = 0 - 0 = 0,

lim_{x \to \infty} h (x) = lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0.

Par le Théorème des deux gendarmes, on a alors que

lim_{x \to \infty} f (x) = 0

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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