Si on représente par une flèche l’assignement de l’élément $a\in A$ à l’élément $b\in B$,

On écrit $f:A\to B$ et on note $f(a)$ l’élément de $B$ assigné à $a\in A$. On écrit donc

On dit que $b=f(a)$ est l’image de $a$ ($a$ est “envoyé sur/vers $b$”), et que $a$ est une préimage (ou un antécédent) de $b$.

Exemple 1.2. La règle représentée sur le shéma

ne définit pas une fonction, puisqu’il y a des éléments de $A$ qui sont envoyés vers plus qu’un élément de $B$:

On parle d’une fonction réelle d’une variable réelle lorsque $A$ et $B$ sont des sous-ensembles de $\mathbb{R}$. Au lieu de $A$, on écrira souvent $D_f$, et on parlera du domaine de définition de $f$.

Une fonction peut être décrite de plusieurs façons (on note que le domaine de définition de la fonction fait partie, parfois implicitement, de la description de la fonction):

• par une formule explicite valable pour tout $x$, par exemple $f(x)=x^2$;
• par une distinction de cas, par exemple$$f(x)=\{\begin{array}{ll}5& \text{ si }x<1\\ 42& \text{ si }1⩽x<2\\ 1000& \text{ si }x⩾2\end{array}$$
• verbalement, par des mots, par ex. la température en fonction du temps;
• graphiquement (par un graphe, voir ci-dessous).

On peut se représenter plus facilement une fonction $f$ à l’aide de son graphe, qui est l’ensemble

Chaque point du graphe est donc de la forme $(x,f(x))$. Ainsi, $\mathrm{Im}(f)$ est l’ensemble des $y\in \mathbb{R}$ pour lesquels la droite horizontale de hauteur $y$ coupe le graphe de $f$ en au moins un point.

Remarquons qu’une courbe représente le graphe d’une fonction seulement si toute droite verticale la coupe au plus une fois. Par exemple, l’image suivante ne représente pas le graphe d’une fonction:

Comment peut-on trouver $\mathrm{Im}(f)$ sans connaître le graphe de $f$ ? Comme $\mathrm{Im}(f)$ est l’ensemble des $y\in \mathbb{R}$ tels qu’il existe $x\in \mathbb{R}$ avec $f(x)=y$, on peut donc regarder pour quels $y$ l’équation $f(x)=y$ possède une solution. L’ensemble de ces $y$ sera alors l’image de $f$.