Considérons une fonction $f$ dérivable en $x_0$, ainsi que la droite tangente au graphe de $f$ au point $(x_0,f(x_0))$:

Pour souligner la dépendance en $x$, écrivons $y=A(x)$, où

Le nombre $A(x)$ approxime bien la valeur de $f(x)$ au voisinage de $x_0$, dans le sens suivant. Commençons par exprimer la différence

où l’on voit apparaître la différence entre le rapport de Newton et $f^{\prime }(x_0)$, qui tend vers $0$ lorsque $x\to x_0$ puisque $f$ est dérivable en $x_0$. Ainsi, $f(x)-A(x)$ est un produit de deux termes qui tendent vers zéro.

On appelle $A(x)$ l’approximation linéaire de $f(x)$ au voisinage $x_0$.