Soit $f:[a,b]\to \mathbb{R}$ continue, telle que $f(a)<f(b)$, et soit $h\in ]f(a),f(b)[$. On va utiliser un algorithme de bissection pour construire $c\in ]a,b[$ tel que $f(c)=h$ comme une limite de suites. On procède par étapes:
Etape 1: Soit $a_0=a$ et $b_0=b$. On considère le milieu $\frac{a_0+b_0}{2}$ de $[a_0,b_0]$.

• Si $f\left(\frac{a_0+b_0}{2}\right)=h$, on a trouvé $c\in ]a,b[$ tel que $f(c)=h$. Sinon,
• si $f\left(\frac{a_0+b_0}{2}\right)<h$, on pose $a_1=\frac{a_0+b_0}{2}$ et $b_0=b$
• si $f\left(\frac{a_0+b_0}{2}\right)>h$, on pose $a_1=a_0$ et $b_1=\frac{a_0+b_0}{2}$.

Dans les deux derniers cas, on s’est ramené à un intervalle $[a_1,b_1]$ de longueur $\frac{b-a}{2}$, avec $f(a_1)<h$ et $f(b_1)>h$.
Etape 2: On considère le milieu de l’intervalle $[a_1,b_1]$: soit on obtient un $c\in ]a,b[$ tel que $f(c)=h$, soit on se ramène à un intervalle $[a_2,b_2]$ de longueur $\frac{b-a}{4}$, avec $f(a_2)<h$ et $f(b_2)>h$.
On répète cette procédure de telle sorte qu’à l’issue de l’étape $n$, si on n’a pas encore trouvé un $c\in ]a,b[$ tel que $f(c)=h$, on a défini un intervalle $[a_n,b_n]\subset [a,b]$, de longueur $\frac{b-a}{2^n}$, avec $f(a_n)<h$ et $f(b_n)>h$.
On obtient ainsi:

• Une suite $(a_n)$ croissante et majorée par $b$
• Une suite $b_n$ décroissante et minorée par $a$.

Ces deux suites convergent, et on a de plus que $$\underset{n\to \infty }{\lim }(b_n-a_n)=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{b-a}{2^n}=0,$$ donc ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n={\lim }_{n\to \infty }{a}_n$. On définit $$c=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n.$$ Il nous reste à prouver que $f(c)=h$. Par la continuité de $f$ et puisque $a_n\to c$, le théorème de caractérisation de la continuité par les suites nous permet de dire que ${\lim }_{n\to \infty }f(a_n)=f(c)$. De même, ${\lim }_{n\to \infty }f(b_n)=f(c)$.
Or pour tout $n$, $f(a_n)<h$, donc ${\lim }_{n\to \infty }f(a_n)⩽h$. De même, pour tout $n$, $f(b_n)>h$, donc ${\lim }_{n\to \infty }f(a_n)⩾h$. Donc ${\lim }_{n\to \infty }{b}_n={\lim }_{n\to \infty }{a}_n$ implique que $$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }{b}_n=h$$ et enfin que $f(c)=h$.

Considérons un polynôme de degré impair, $$p(x)=a_{2n+1}{x}^{2n+1}+a_{2n}{x}^{2n}+a_{2n-1}{x}^{2n-1}+\cdots +a_0,$$ avec $a_{2n+1}\ne 0$.
Si $a_{2n+1}>0$, alors ${\lim }_{x\to +\infty }p(x)=+\infty$ et ${\lim }_{x\to -\infty }p(x)=-\infty$. On a donc $M>0$ tel que $p(M)>0$ et $N<0$ tel que $p(N)<0$. En appliquant le TVI sur l’intervalle $[N,M]$, on a qu’il existe $c\in ]N,M[$ tel que $p(c)=0$.
Si $a_{2n+1}<0$, alors ${\lim }_{x\to +\infty }p(x)=-\infty$ et ${\lim }_{x\to -\infty }p(x)=+\infty$, et on peut adapter le même argument.

Considérons le premier cas, dans lequel $f$ est strictement croissante. Dans ce cas, $f(a)⩽f(x)⩽f(b)$ pour tout $x\in [a,b]$, et donc $\mathrm{Im}(f)\subset [f(a),f(b)]$. Puis, si on fixe une valeur intermédiaire $h$, $f(a)<h<f(b)$, le Théorème de la valeur intermédiaire garantit l’existence d’un $x\in ]a,b[$ tel que $f(x)=h$, ce qui implique que $h\in \mathrm{Im}(f)$. Ainsi, $]f(a),f(b)[\subset \mathrm{Im}(f)$. Puisque $f(a),f(b)\in \mathrm{Im}(f)$, on a aussi $[f(a),f(b)]\subset \mathrm{Im}(f)$. On conclut donc que $\mathrm{Im}(f)=[f(a),f(b)]$.
On sait maintenant que $f:[a,b]\to \mathrm{Im}(f)$ est surjective. Mais étant strictement croissante, elle est également injective. Elle est donc bijective.