Dans cette section, on considère des intégrales de la forme

Pour trouver ces primitives, on va décomposer la fonction rationnelle en éléments simples qu’on sait intégrer. On sait intégrer les cas simples suivants.

• $\int \frac{1}{x}dx=\ln |x|+C$
• $\int \frac{1}{x^n}dx=\frac{x^{-n+1}}{-n+1}+C$ ($n\ne 1$)
• $\int \frac{1}{x^2+1}dx=\arctan (x)+C$
• $\int \frac{x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{2x}{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int \frac{u^{\prime }(x)}{u(x)}dx=\frac{1}{2}\ln (x^2+1)+C$

Les exemples ci-dessus sont du type

Pour un discriminant $<0$, on peut exprimer le dénominateur sous la forme $(\alpha x+\beta {)}^2+\gamma$, $\gamma >0$, et on sait donc comment traiter ces cas en utilisant $\ln$ et $\arctan$, comme ci-dessus. Le cas $\Delta <0$ correspond à un polynôme irréductible qui n’a pas de racines réelles, et donc ne se factorise pas (sur $\mathbb{R}$). Que peut-on faire si $\Delta ⩾0$ ? Si $\Delta ⩾0$ pour le dénominateur, alors il a des racines réelles et on peut le factoriser. On utilise cette factorisation pour le décomposer en éléments simples.

À la fin de la section, on discute encore de comment trouver les coefficients $A,B,\dots$.

Méthode générale

On décrit maintenant la procédure à suivre dans le cas général. Soit

une fonction rationnelle ($P(x),Q(x)$ polynômes).

1. Si $\mathrm{deg}(P)⩾\mathrm{deg}(Q)$, effectuer la division polynomiale pour trouver$$f(x)=S(x)+\frac{R(x)}{Q(x)},$$où $S(x),R(x)$ sont des polynômes, et $\mathrm{deg}(R)<\mathrm{deg}(Q)$.
   Exemple 1.1. $$\frac{4x^3-22x^2-4x+4}{2x^2+x-1}=2x-12+\frac{10x-8}{2x^2+x-1}.$$
2. Factoriser le plus possible le dénominateur $Q(x)$ (en facteurs irréductibles).
   Exemple 1.2. $x^3-1=(x-1)\underset{\Delta <0}{\underbrace{(x^2+x+1)}}$.
3. Maintenant on a les possibilités suivantes.
   • Cas I: Si $Q(x)$ peut être factorisé en un produit de $k$ facteurs de degré $1$ distincts,$$Q(x)=(a_{1}x+b_1)(a_{2}x+b_2)\cdots (a_{k}x+b_k),$$alors on cherche des constantes $A_1,A_2,\dots A_k$ telles que$$\frac{R(x)}{Q(x)}=\frac{A_1}{a_{1}x+b_1}+\frac{A_2}{a_{2}x+b_2}+\cdots \frac{A_k}{a_{k}x+b_k}.$$
     Exemple 1.3. $$\frac{x+6}{x(x-4)(3x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-4}+\frac{C}{3x+2}.$$
   • Cas II: Si un des facteurs de degré $1$ de $Q(x)$ est de multiplicité $r$, $(ax+b{)}^r$, alors on ajoute à la décomposition en éléments simples les termes$$\frac{A_1}{ax+b}+\frac{A_2}{(ax+b{)}^2}+\cdots +\frac{A_r}{(ax+b{)}^r}.$$
     Exemple 1.4. $$\frac{x^3-x+1}{x^2(x-5{)}^3}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-5}+\frac{D}{(x-5{)}^2}+\frac{E}{(x-5{)}^3}.$$
   • Cas III: Si un des facteurs de $Q(x)$ est un facteur irréductible du type $a{x}^2+bx+c$ où $\Delta =b^2-4ac<0$, alors on ajoute à la décomposition en éléments simples le terme$$\frac{Ax+B}{a{x}^2+bx+c}.$$
     Exemple 1.5. $$\frac{x}{(x-7)(x^2+1)(x^2+4)}=\frac{A}{x-7}+\frac{Bx+C}{x^2+1}+\frac{Dx+E}{x^2+4}$$
   • Cas IV: Si un des facteurs de $Q(x)$ est un facteur irréductible de degré $2$ de multiplicité $r$, $(a{x}^2+bx+c{)}^r$ avec $\Delta =b^2-4ac<0$, alors on ajoute à la décomposition en éléments simples les termes$$\frac{A_{1}x+B_1}{a{x}^2+bx+c}+\frac{A_{2}x+B_2}{(a{x}^2+bx+c{)}^2}+\cdots +\frac{A_{r}x+B_r}{(a{x}^2+bx+c{)}^r}.$$
     Exemple 1.6. $$\begin{array}{rl}\frac{x^3+x^2+1}{(x+7)(x^2+x+1)(x^2+1{)}^3}& \\ =\frac{A}{x+7}+\frac{Bx+C}{x^2+x+1}& +\frac{Dx+E}{x^2+1}+\frac{Fx+G}{(x^2+1{)}^2}+\frac{Hx+I}{(x^2+1{)}^3}\end{array}$$

Sur la recherche des coefficients

Lorsqu’on décompose une fraction en éléments simples, on peut toujours trouver les coefficients par identification comme on l’a fait jusqu’ici. Mais on peut aussi utiliser la méthode dite d’évaluation pour rendre les calculs plus rapides.