Exemple 1.1. Trouver le rectangle inscrit entre la courbe $y=1-x^2$ et l’axe $Ox$ d’aire maximale. (On suppose que les côtés du rectangle sont parallèles aux axes de coordonnées.)
Paramétrisons tous les rectangles à l’aide de la variable $x\in [0,1]$, visible sur l’image ci-dessus. Pour un $x$ fixé, l’aire du rectangle représenté est égale à $$A(x)=\text{ base }\times \text{ hauteur }=2x\cdot (1-x^2).$$ On aimerait donc trouver le maximum global de la fonction $$\begin{array}{rl}A:[0,1]& \to \mathbb{R}\\ x& \mapsto A(x)=2x(1-x^2).\end{array}$$ On a $A^{\prime }(x)=-6x^2+2$, et donc la variation de $A$ est donnée par $A$ s’annule sur le bord de $[0,1]$ bord, $A(0)=A(1)=0$, et donc $A$ possède un max local et global en $x=\frac{1}{\sqrt{3}}$. En ce point, $A\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=\frac{4}{3\sqrt{3}}.$

Exemple 1.2. Trouver, parmi tous les cylindres inscrits dans une sphère de rayon $R$, celui dont le volume est maximal. Utilisons la variable $x\in [0,R]$ visible ci-dessus; $x$ représente le rayon du cylindre inscrit.
Volume pour un $x$ donné, $$V(x)=\text{ aire de la base }\cdot \text{ hauteur }=\pi x^2\cdot h(x).$$
On a $x^2+{\left(\frac{h(x)}{2}\right)}^2=R^2$, d’où $h(x)=2\sqrt{R^2-x^2}$.

On cherche donc le maximum global de $$\begin{array}{rl}V:[0,R]& \to \mathbb{R}\\ x& \mapsto V(x)=2\pi x^2\sqrt{R^2-x^2}\end{array}$$ Or $$\begin{array}{rl}{V}^{\prime }(x)& =2\pi \left(2x\sqrt{R^2-x^2}+x^2\cdot \frac{-2x}{2\sqrt{R^2-x^2}}\right)\\ & =2\pi \frac{2x(R^2-x^2)-x^3}{\sqrt{R^2-x^2}}\\ & =2\pi \frac{x(2R^2-3x^2)}{\sqrt{R^2-x^2}}.\end{array}$$ On a donc, sur $]0,R[$, que $$V^{\prime }(x)=0⟺x=\sqrt{\frac{2}{3}}R.$$ En ce point, $$V\left(\sqrt{\frac{2}{3}}R\right)=\frac{1}{\sqrt{3}}\cdot \frac{4}{3}\pi R^3>0,$$ alors que sur le bord, $V(0)=V(R)=0$. On conclut donc que $V$ possède un maximum global en $x=\sqrt{\frac{2}{3}}R$. Le cylindre correspondant a un volume égale à $\frac{1}{\sqrt{3}}=0.577\dots$ fois celui de la sphère.

Exemple 1.3. Une fourmi au cinéma cherche à maximiser l’angle sous lequel elle voit l’écran: Repérons la position de la fourmi à l’aide de $x\in ]0,\infty [$, la distance (en mètres) entre la fourmi et le mur.
Lorsqu’elle est à distance $x$ du mur, elle voit l’écran sous un angle $$\theta (x)=\alpha (x)-\beta (x)=\arctan \left(\frac{8}{x}\right)-\arctan \left(\frac{3}{x}\right)$$ On cherche donc le maximum global de $$\begin{array}{rl}\theta :\left]0,\infty \right[& \to \mathbb{R},\\ x& \mapsto \theta (x)=\arctan \left(\frac{8}{x}\right)-\arctan \left(\frac{3}{x}\right)\end{array}$$ Remarquons que sur les bords du domaine, $$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\theta (x)=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{2}=0,\underset{x\to +\infty }{\lim }\theta (x)=0.$$ Ensuite, sur $]0,+\infty [$, $$\begin{array}{rl}{\theta }^{\prime }(x)& =\frac{1}{1+{\left(\frac{8}{x}\right)}^2}\cdot \frac{-8}{x^2}-\frac{1}{1+{\left(\frac{3}{x}\right)}^2}\cdot \frac{-3}{x^2}\\ & =\frac{-8}{x^2+64}+\frac{3}{x^2+9}\\ & =\frac{-8x^2-72+3x^2+192}{(x^2+64)(x^2+9)}\\ & =\frac{120-5x^2}{(x^2+64)(x^2+9)}.\end{array}$$ Ainsi, ${\theta }^{\prime }(x)=0⟺x=\sqrt{24}$, et Puisque $\theta (\sqrt{24})>0$, on a donc un maximum global en $x=\sqrt{24}$. Pour maximiser l’angle sous lequel elle voit l’écran, la fourmi doit donc s’asseoir à $\sqrt{24}$ mètres de l’écran.