Introduction

On a vu que la valeur qu’une fonction $f$ prend un un point $x_{0}$ peut n’avoir aucun lien avec la valeur de sa limite $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ .

Pour certaines fonctions, pourtant, la limite $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ est égale à la valeur $f (x_{0})$ de $f$ en $x_{0}$ . Ces fonctions sont dites continues.

Définition 1.1. Si

f

est définie en

x_{0} \in R

et dans son voisinage, et si

x \to x_{0} lim f (x) = f (x_{0}),

on dit que

f

est continue en $x_{0}$ . Sinon,

f

est dite discontinue en $x_{0}$ .

La définition de continuité comporte implicitement trois exigences:

$f (x_{0})$ existe, c’est-à-dire $x_{0} \in D_{f}$ ,
$lim_{x \to x_{0}} f (x)$ existe, $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L \in R$ , et
cette limite $L = f (x_{0})$ .

Exemple 1.2. La fonction

f (x) = x^{2}

est continue en

2

, puisque

lim_{x \to 2} f (x) = 4

(voir section précédente), et

f (2) = 2^{2} = 4

, donc

lim_{x \to 2} f (x) = f (2)

On remarque qu’il est donc très facile de calculer les limites des fonctions continues: pour trouver $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ , on doit simplement évaluer la fonction $f$ en $x_{0}$ .

Considérons quelques exemples de fonctions discontinues:

Discontinuité de type “trou”: $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ existe mais $f$ n’est pas définie en $x_{0}$ . Par exemple, $f (x) = \frac{s i n ( x )}{x}$ en $x_{0} = 0$ .
Discontinuité de type “trou-saut”: $f (x_{0})$ existe, $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ existe aussi, mais $f (x_{0}) \neq = lim_{x \to x_{0}} f (x)$ . Par exemple, si $f (x) = {x 6 si x \neq = 5, si x = 5,$ alors avec $x_{0} = 5$ on a $f (x_{0}) = 6$ mais $lim_{x \to x_{0}} f (x) = 5$ :
Discontinuité de type “saut”: $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ et $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x)$ existent mais ne sont pas égales (et donc $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ n’existe pas). Par exemple, $f (x) = {\frac{x}{2} 2 si x < 2, si x ⩾ 2$ en $x_{0} = 2$ :
Discontinuité de type infini: Au moins une des limites $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x)$ , $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x)$ ou $lim_{x \to x_{0}} f (x)$ est $\pm \infty$ .Par exemple, $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ est discontinue en $x_{0} = 2$ .

On peut expliciter la définition de la continuité en remplaçant la limite par sa définition: $f$ est continue en $x_{0}$ si $\forall ε > 0$ , $\exists δ > 0$ tel que

∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ ⟹ ∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ ⩽ ε .

Remarquons que pour la continuité, on s’intéresse justement à ce qui se passe en $x_{0}$ , et on remplace donc la condition “ $0 < ∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ$ ”, dans la définition de limite, par “ $∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ$ ”.

Définition 1.3. Soit

I

un intervalle ouvert. Une fonction

f

est dite continue sur $I$ si elle est continue en

x_{0}

pour tout

x_{0} \in I

.
L’ensemble de toutes les fonctions continues sur

I

est noté

C^{0} (I)

Intuitivement, une fonction est continue sur $I$ si on peut y tracer son graphe “sans lever le crayon”.

Exemple 1.4. Montrons que

f (x) = x^{2}

est continue en tout

x_{0}

. Soit

ε > 0

. On cherche

δ > 0

tel que

∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ ⟹ ∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ ⩽ ε

. On a

∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ = ∣ x^{2} - x_{0}^{2} ∣ = ∣ (x - x_{0}) \cdot (x + x_{0}) ∣ = ∣ x - x_{0} ∣ \cdot ∣ x + x_{0} ∣ = ∣ x - x_{0} ∣ \cdot ∣ x - x_{0} + x_{0} + x_{0} ∣ ⩽ ∣ x - x_{0} ∣ \cdot (∣ x - x_{0} ∣ + ∣2 x_{0} ∣) = ∣ x - x_{0} ∣^{2} + ∣2 x_{0} ∣ \cdot ∣ x - x_{0} ∣.

On doit donc choisir

δ > 0

tel que

∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ ⟹ ∣ x - x_{0} ∣^{2} + ∣2 x_{0} ∣ \cdot ∣ x - x_{0} ∣ ⩽ ε .

On a

∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ ⟹ ∣ x - x_{0} ∣^{2} + ∣2 x_{0} ∣ \cdot ∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ^{2} + ∣2 x_{0} ∣ \cdot δ .

On peut donc prendre

δ > 0

tel que

δ^{2} + ∣2 x_{0} ∣ \cdot δ ⩽ ε

. En exigeant que

δ ⩽ 1

, on a

δ^{2} + ∣2 x_{0} ∣ \cdot δ = δ (δ + ∣2 x_{0} ∣) ⩽ δ (1 + 2∣ x_{0} ∣)

, et donc il suffit de prendre

δ > 0

tel que

δ (1 + 2∣ x_{0} ∣) ⩽ ε

, c’est-à-dire

δ ⩽ \frac{ε}{1 + 2∣ x _{0} ∣}

.

Ainsi, en prenant

0 < δ ⩽ min {1, \frac{ε}{1 + 2∣ x _{0} ∣}}

, on a

∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ ⟹ ∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ ⩽ ε .

Exemples 1.5.

Soit $f (x) = sin (x)$ , et soit $x_{0} \in R$ un point fixé. Montrons que $f$ est continue en $x_{0}$ . Soit $ε > 0$ . On cherche $δ > 0$ tel que $∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ ⟹ ∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ ⩽ ε$ . On remarque pour commencer que $∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ = ∣ sin (x) - sin (x_{0}) ∣ = 2 cos (\frac{x + x _{0}}{2}) sin (\frac{x - x _{0}}{2}) = 2 cos (\frac{x + x _{0}}{2}) \cdot sin (\frac{x - x _{0}}{2}) ⩽ 2 sin (\frac{x - x _{0}}{2}) ⩽ 2 \frac{∣ x - x _{0} ∣}{2} = ∣ x - x_{0} ∣.$ Prenons maintenant un $δ$ tel que $0 < δ ⩽ ε$ . On a alors, pour ce $δ$ , que $∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ ⟹ ∣ f (x) - f (x_{0}) ∣ ⩽ ∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ ⩽ ε .$ Ceci montre que $f$ est continue en $x_{0}$ . On a donc montré que $f \in C^{0} (R)$ .
En utilisant l’identité $cos (x) - cos (x_{0}) = - 2 sin (\frac{x + x _{0}}{2}) sin (\frac{x - x _{0}}{2}),$ on prouve de même que $cos (x)$ est continue en tout $x_{0} \in R$ .

Proposition 1. Soient $f$ et $g$ continues en $x_{0}$ . Alors les fonctions suivantes sont aussi continues en $x_{0}$ :
$λ f$ pour $λ \in R$ ,
$∣ f ∣$ ,
$f \pm g$ ,
$f \cdot g$ ,
$\frac{f}{g}$ (si $g (x_{0}) \neq = 0$ ).

Ces propriétés sont conséquences des propriétés des limites. Par exemple, $f$ et $g$ sont continues en $x_{0}$ $⟺$ $lim_{x \to x_{0}} f (x) = f (x_{0})$ et $lim_{x \to x_{0}} g (x) = g (x_{0})$ . On a donc $lim_{x \to x_{0}} (f (x) + g (x)) = f (x_{0}) + g (x_{0})$ , et donc $lim_{x \to x_{0}} (f + g) (x) = (f + g) (x_{0})$ , d’où $f + g$ est continue en $x_{0}$ .

Exemples 1.6.

En utilisant ces propriétés, la preuve de la continuité de $f (x) = x^{2}$ devient immédiate: comme la fonction identité $g (x) = x$ est continue (puisque pour tout $x_{0}$ , on a $lim_{x \to x_{0}} g (x) = lim_{x \to x_{0}} x = x_{0} = g (x_{0})$ ), on a que $f (x) = g (x)^{2} = g (x) g (x)$ est continue en $x_{0}$ , étant donné que c’est un produit de fonctions continues en $x_{0}$ .
De même, comme les fonctions constantes sont continues,on en déduit que les polynômes sont des fonctions continues en tout $x_{0}$ , puisque ce sont des sommes de produits de fonctions continues.
Il en découle aussi que les fonctions rationnelles (de la forme $f (x) = \frac{P ( x )}{Q ( x )}$ , où $P$ et $Q$ sont des polynômes) sont continues sur leur domaine.
$tan (x) = \frac{s i n ( x )}{c o s ( x )}$ est continue sur son domaine puisqu’elle est donnée par le quotient de deux fonctions continues.
$exp (x)$ et $lo g (x)$ sont continues sur leurs domaines de définitions respectifs (on ne le démontre pas).

Théorème 1.7. Soit $f$ définie sur un voisinage épointé de $x_{0}$ telle que $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L \in R$ , et soit $g$ continue au point $L$ . Alors $x \to x_{0} lim g (f (x)) = g (x \to x_{0} lim f (x)) = g (L) .$

Le théorème ci-dessus dit qu’on peut “passer les limites à l’intérieur d’une fonction continue”.

Exemple 1.8. Considérons la limite

x \to 0 lim 1 + sin (x) .

On peut écrire

1 + sin (x) = g (f (x))

, où

g (x) = x

f (x) = 1 + sin (x)

. On sait que

lim_{x \to 0} f (x) = 1

, et puisque

g

est continue en

1

, on peut “rentrer la limite dans

g

”:

x \to 0 lim 1 + sin (x) = x \to 0 lim (1 + sin (x)) = 1 = 1 .

Une conséquence du théorème:

Corollaire 1. Si $f$ est continue en $x_{0}$ et $g$ est continue en $f (x_{0})$ , alors la composition $g \circ f$ est continue en $x_{0}$ .

La caractérisation par les suites implique la caractérisation suivante de la continuité.

Théorème 1.9. $f$ est continue en $x_{0}$ $⟺$ pour toute suite $(x_{n})$ telle que $x_{n} \to x_{0}$ , on a $lim_{n \to \infty} f (x_{n}) = f (x_{0})$ .

On peut utiliser ce théorème pour montrer qu’une fonction n’est pas continue.

Définition 1.10.

Si $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = f (x_{0})$ , la fonction $f$ est dite continue à droite.
Si $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = f (x_{0})$ , la fonction $f$ est dite continue à gauche.

Exemples 1.11.

$f (x) = E (x)$ est continue à droite et discontinue à gauche en tout $x_{0} \in Z$ . En effet, si $x_{0} \in Z$ , $x \to x_{0}^{-} lim E (x) = E (x_{0}) - 1 = x_{0} - 1 \neq = x_{0} = E (x_{0}) .$
Soit $f : [- 2, + \infty [\to R$ définie par $f (x) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 + x - 2}{x - 2} \frac{1}{4} 2 x^{2} - 4 si x < 2, si x = 2 si x > 2.$ Discutons de la continuité de $f$ en $x_{0} = 2$ . On a $x \to 2^{-} lim f (x) x \to 2^{+} lim f (x) = x \to 2^{-} lim \frac{2 + x - 2}{x - 2} = x \to 2^{-} lim \frac{( 2 + x - 2 ) ( 2 + x + 2 )}{( x - 2 ) ( 2 + x + 2 )} = x \to 2^{-} lim \frac{x - 2}{( x - 2 ) ( 2 + x + 2 )} = x \to 2^{-} lim \frac{1}{2 + x + 2} = \frac{1}{4}, et = x \to 2^{+} lim 2 x^{2} - 4 = 4.$ On a $lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \frac{1}{4} = f (2)$ et la fonction est donc continue à gauche en $2$ . Par contre, puisque $lim_{x \to 2^{+}} f (x) \neq = f (2)$ , la fonction n’est pas continue à droite.

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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