BotafogoThéorème fondamental de l’analyse (2)
Théorème 1.1. (Théorème Fondamental de l’Analyse, 2ème partie) Soit f:[a,b]→R continue. Si F est une primitive de f, alors ∫abf(x) dx=F(b)−F(a).
On sait que la fonction “aire” A(x)=∫axf(t) dt est une primitive de f. Par le lemme sur les primitives précédent, il existe une constante C∈R telle que A(x)=F(x)+C. Mais A(a)=0, donc 0=F(a)+C, d’où C=−F(a). Ceci implique que A(x)=F(x)−F(a), et donc ∫abf(x) dx=A(b)=F(b)−F(a).
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Exemples 1.2.
- Reprenons l’exemple f(x)=1−x2. On a la primitive F(x)=x−3x3, et donc le Théorème Fondamental ci-dessus implique que∫−11(1−x2)dx=F(1)−F(−1)=(1−313)−(−1−3(−1)3)=2−32=34,comme nous avions trouvé au début du chapitre.
- ∫02πcos(x) dx=sin(2π)−sin(0)=1,comme calculé aux exercices.
Exemple 1.3. Supposons que f est une fonction continue. Si on définit G(x):=∫xsin(x)f(t)dt, comment calculer sa dérivée G′(x)?
Puisque f est continue, elle possède une primitive F: F′=f. Le Théorème Fondamental permet donc d’affirmer que G(x)=F(sin(x))−F(x). Ainsi, G′(x)=[F(sin(x))−F(x)]′=(sin(x))′⋅F′(sin(x))−F′(x)=cos(x)f(sin(x))−f(x). Donc on n’a pas besoin de connaître F pour connaître G′.
Puisque f est continue, elle possède une primitive F: F′=f. Le Théorème Fondamental permet donc d’affirmer que G(x)=F(sin(x))−F(x). Ainsi, G′(x)=[F(sin(x))−F(x)]′=(sin(x))′⋅F′(sin(x))−F′(x)=cos(x)f(sin(x))−f(x). Donc on n’a pas besoin de connaître F pour connaître G′.
Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).
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