Théorème des accroissements finis

Théorème 1.1 (Théorème des accroissements finis (TAF)). Soit $f$ continue sur $[a, b]$ et dérivable sur $] a, b [$ . Alors il existe $x_{0} \in] a, b [$ tel que $f^{'} (x_{0}) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} .$

L’équation de la sécante

d

passant par

(a, f (a))

(b, f (b))

est

y = (\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}) \cdot (x - a) + f (a) .

On définit la fonction de la différence entre

d

f (x)

g (x) := f (x) - [(\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}) \cdot (x - a) + f (a)] .

g

est continue sur

[a, b]

et dérivable sur

] a, b [

, car

f

l’est, et on a

g (a) = g (b) = 0

. Les hypothèses du Théorème de Rolle sont alors vérifiées, et on a donc un

x_{0} \in] a, b [

tel que

g^{'} (x_{0}) = 0

. Mais

g^{'} (x) = f^{'} (x) - (\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}),

et donc

g^{'} (x_{0}) = f^{'} (x_{0}) - (\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}) = 0

implique que

f^{'} (x_{0}) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} .

□

Remarques 1.2.

Le Théorème des accroissements finis est une généralisation du Théorème de Rolle.
Si $f$ décrivait la distance parcourue en fonction du temps, le TAF dirait qu’il y a un moment auquel la vitesse instantanée est égale à la vitesse moyenne entre le temps $a$ et le temps $b$ . Par exemple, si on réalise un trajet à une vitesse moyenne de $100$ km/h, alors il doit y avoir un moment du trajet où on roule à $100$ km/h !
Géométriquement, ce théorème dit qu’il y a au moins un point $x_{0}$ entre $a$ et $b$ tel que la tangente en $x_{0}$ est parallèle à la droite sécante entre $(a, f (a))$ et $(b, f (b))$ .
Ce résultat est essentiel pour déduire des conséquences géométriques de la dérivée, comme on va voir.

Exemples 1.3.

Soit $f (x) = {- 1 x^{2} - 2 x si x ⩽ 1, si x > 1.$ et soit $Γ$ le graphe de $f$ . Déterminons $x_{0} \in] 0, 4 [$ tel que la tangente à $Γ$ en $x_{0}$ est parallèle à la sécante passant par $(0, f (0)) = (0, - 1)$ et $(4, f (4)) = (4, 8)$ .
Pour pouvoir appliquer le TAF sur $] 0, 4 [$ , il nous faut vérifier les hypothèses
- $f$ continue sur $[0, 4]$ , et
- $f$ dérivable sur $] 0, 4 [$ .
En effet, $f$ est continue sur $[0, 4]$ , puisque $f$ est clairement continue en $x \neq = 1$ , et en $1$ on a $lim_{x \to 1^{-}} f (x) = - 1 = lim_{x \to 1^{+}} f (x)$ , donc $f$ y est continue aussi. $f$ est clairement dérivable en $x \neq = 1$ , et en $1$ on a $h \to 0^{-} lim \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = h \to 0^{-} lim \frac{- 1 - ( - 1 )}{h} = 0, et h \to 0^{+} lim \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = h \to 0^{+} lim \frac{( 1 + h ) ^{2} - 2 ( 1 + h ) - ( - 1 )}{h} = h \to 0^{+} lim \frac{h ^{2}}{h} = 0,$ d’où $f$ est dérivable en $1$ aussi. Alors le TAF s’applique et implique que $x_{0}$ existe. On peut le trouver explicitement.La pente de la sécante passant par $(0, - 1)$ et $(4, 8)$ est $\frac{8 - ( - 1 )}{4 - 0} = \frac{9}{4}$ .La pente de la tangente en $x_{0}$ est $f^{'} (x_{0}) = {0 2 x_{0} - 2 si x_{0} ⩽ 1, si x_{0} > 1.$ Pour que les deux droites soient parallèles, il nous faut $f^{'} (x_{0}) = \frac{9}{4}$ , c’est-à-dire $2 x_{0} - 2 = \frac{9}{4}$ . On a donc $x_{0} = \frac{17}{8} \in] 0, 4 [$ .
Soit $f (x) = ∣ x ∣$ . La pente de la sécante passant par $(- 1, f (- 1))$ et $(1, f (1))$ est $0$ . Mais il n’y a pas de $x_{0} \in] - 1, 1 [$ tel que $f^{'} (x_{0}) = 0$ , et donc pas de tangente parallèle à cette sécante. En effet, $f$ ne vérifie pas les hypothèses du TAF car $f$ n’est pas dérivable en $0 \in] - 1, 1 [$ .

On va maintenant parler de quelques conséquences du TAF. Comme on a mentionné, ce résultat nous aide à déduire des conséquences géométriques de la dérivée. Si on a des informations sur $f$ , on peut pendre la limite du rapport du Newton pour trouver $f^{'}$ et déduire des informations sur la variation de la fonction. Mais si on a des informations sur la dérivée, comment avoir de l’information sur $f$ ? On ne peut pas “défaire” la limite, mais on peut justement utiliser le TAF.

On sait que pour une fonction constante, la dérivée s’annule. Le TAF nous permet de montrer que l’implication inverse est vraie aussi.

Corollaire 1. Soit $f$ dérivable sur un intervalle ouvert $I$ , telle que $f^{'} (x) = 0$ pour tout $x \in I$ . Alors $f (x) = c$ pour tout $x \in I$ , où $c \in R$ est une constante.

Pour n’importe quels

a, b \in I

avec

a < b

, il existe

x_{0} \in] a, b [

tel que

f^{'} (x_{0}) = \frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a}

par le TAF. Or

f^{'} (x_{0}) = 0

, donc

\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} = 0

et alors

f (b) = f (a)

. Comme ceci est vrai pour n’importe quels

a, b \in I

f

prend donc la même valeur partout sur

I

, donc

f (x) = c

pour une certaine constante

c \in R

□

Corollaire 2. Soient $f, g$ dérivables sur un intervalle ouvert $I$ , telles que $f^{'} (x) = g^{'} (x)$ pour tout $x \in I$ . Alors il existe $c \in R$ tel que $f (x) = g (x) + c$ pour tout $x \in I$ .

Laissée en exercice.

□

Corollaire 3. Soit $I$ un intervalle ouvert, et $f$ une fonction dérivable sur $I$ .
$f^{'} (x) ⩾ 0$ sur $I$ $⟺$ $f$ est croissante sur $I$ .
$f^{'} (x) ⩽ 0$ sur $I$ $⟺$ $f$ est décroissante sur $I$ .

On montre la première équivalence, la deuxième est laissée en exercice.
Supposons d’abord que

f

est croissante sur

I

. Prenons

x_{0} \in I

h > 0

tel que

x_{0} + h \in I

. Alors on a

f (x_{0} + h) ⩾ f (x_{0})

, et donc

\frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h} ⩾ 0

, d’où

f_{+}^{'} (x_{0}) = h \to 0^{+} lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h} ⩾ 0.

Mais puisque

f

est dérivable en

x_{0}

f^{'} (x_{0}) = f_{+}^{'} (x_{0})

, et donc on a

f^{'} (x_{0}) ⩾ 0

.
Supposons maintenant que

f^{'} (x) ⩾ 0

pour tout

x \in I

. Soient

a, b \in I

tels que

a < b

. Par le TAF appliqué à l’intervalle

[a, b]

, il existe

c \in] a, b [

tel ue

\frac{f ( b ) - f ( a )}{b - a} = f^{'} (c) ⩾ 0.

Puisque

b - a > 0

, on a donc que

f (b) - f (a) ⩾ 0

, d’où

f (a) ⩽ f (b)

□

On remarque qu’on a aussi

$f^{'} (x) > 0$ sur $I$ $⟹$ $f$ est strictement croissante sur $I$ ,
$f^{'} (x) < 0$ sur $I$ $⟹$ $f$ est strictement décroissante sur $I$ .

Par contre, une fonction strictement croissante ou strictement décroissante peut avoir une dérivée nulle, par exemple $f (x) = x^{3}$ en $0$ .

Corollaire 4. Soit $f$ une fonction continue en $x_{0}$ et dérivable sur un voisinage épointé de $x_{0}$ . Si $lim_{x \to x_{0}} f^{'} (x)$ existe, alors $f$ est dérivable en $x_{0}$ et $f^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} f^{'} (x)$ .

La fonction

f

est continue en

x_{0}

et dérivable sur un voisinage épointé de

x_{0}

. Donc pour tout

h

tel que

x_{0} + h

appartient à ce voisinage, on peut appliquer le TAF sur l’intervalle

[x_{0}, x_{0} + h]

h > 0

, ou

[x_{0} + h, x_{0}]

h < 0

\exists t \in] 0, 1 [tel que \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h} = f^{'} (x_{0} + t \cdot h) .

Lorsque

h \to 0

h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h} = h \to 0 lim f^{'} (x_{0} + t \cdot h) .

Par hypothèse, la limite

lim_{x \to x_{0}} f^{'} (x)

existe. Elle est donc unique et ne dépend pas de la façon dont

x

tend vers

x_{0}

. On a alors

x \to x_{0} lim f^{'} (x) = h \to 0 lim f^{'} (x_{0} + t \cdot h) .

Alors

f^{'} (x_{0})

existe et

f^{'} (x_{0}) = h \to 0 lim \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h} = h \to 0 lim f^{'} (x_{0} + t \cdot h) = x \to x_{0} lim f^{'} (x) .

□

Attention: ce résultat ne dit pas que la dérivée est continue ! Il dit juste que la seule façon de ne pas être continue pour une fonction dérivée est une limite $lim_{x \to x_{0}} f^{'} (x)$ non existante.

Ce corollaire est utile si par exemple on a une fonction qui est clairement dérivable à gauche et à droite de $x_{0}$ , et on voudrait montrer qu’elle l’est aussi en $x_{0}$ . Au lieu de calculer et comparer les dérivées à gauche et à droite, grâce à ce corollaire, on peut simplement montrer que $lim_{x \to x_{0}} f^{'} (x)$ existe (en calculant cette limite à gauche et à droite, par exemple) et ainsi on aura que $f^{'} (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} f^{'} (x)$ .

Exemple 1.4. Soit

f (x) = {- 1 x^{2} - 2 x si x ⩽ 1, si x > 1.

On peut montrer que

f

est dérivable en

1

en calculant

h \to 0^{-} lim \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = h \to 0^{-} lim \frac{- 1 - ( - 1 )}{h} = 0, h \to 0^{+} lim \frac{f ( 1 + h ) - f ( 1 )}{h} = h \to 0^{+} lim \frac{( 1 + h ) ^{2} - 2 ( 1 + h ) - ( - 1 )}{h} = h \to 0^{+} lim \frac{h ^{2}}{h} = 0.

Mais grâce au corollaire ci-dessus, on peut simplement constater que

f

est continue, on a

f^{'} (x) = {0 2 x - 2 si x < 1, si x > 1,

lim_{x \to 1} f^{'} (x)

existe et vaut

0

. On a donc que

f^{'} (1) = 0

Le théorème suivant sera utilisé dans la preuve de la Règle de Bernoulli–de l’Hôpital.

Théorème 1.5 (TAF généralisé). Soient $f$ et $g$ continues sur $[a, b]$ et dérivables sur $] a, b [$ , tel que $g^{'} (x) \neq = 0$ pour tout $x \in] a, b [$ . Alors il existe $t \in] a, b [$ tel que $\frac{f ^{'} ( t )}{g ^{'} ( t )} = \frac{f ( b ) - f ( a )}{g ( b ) - g ( a )} .$

Idée: On applique le TAF à la fonction

h (x) := (f (b) - f (a)) g (x) - (g (b) - g (a)) f (x)

□

On remarque qu’en prenant $g (x) = x$ , on retrouve le TAF.

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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