Le nombre $e$

Une application importante des suites géométriques est l’existence du nombre d’Euler, $e$ .

Rappel: la factorielle $n!$ de $n \in N$ est définie par

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \dots (n - 1) \cdot n .

Pour le cas de $n = 0$ , on pose $0! = 1$ .

Soit $(e_{n})$ la suite définie par

e_{n} := 1 + \frac{1}{1 !} + \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} + \frac{1}{4 !} + \dots + \frac{1}{n !} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !}

Proposition 1. La suite $(e_{n})$ converge.

On va montrer que

(e_{n})

est croissante et majorée, et donc elle converge.

$(e_{n})$ est croissante: $e_{n + 1} = e_{n} + \frac{1}{( n + 1 )!} > e_{n}$ .
$(e_{n})$ est majorée: $e_{n} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k !}$ et pour $k ⩾ 2$ , chaque $\frac{1}{k !}$ peut être majoré, $\frac{1}{k !} = \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \dots k} ⩽ \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \dots 2} = \frac{1}{2 ^{k - 1}} .$ On a donc $e_{n} = k = 0 \sum n \frac{1}{k !} ⩽ 1 + \frac{1}{1 !} + k = 2 \sum n \frac{1}{2 ^{k - 1}} ⩽ 2 + 1 = 3.$ Alors on a $e_{n} ⩽ 3$ $\forall n$ .
$(e_{n})$ converge car elle est croissante et majorée.

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Définition 1.1. La limite de la suite convergente

(e_{n})

est appelée

e

e = n \to \infty lim (k = 0 \sum n \frac{1}{k !}) = k = 0 \sum \infty \frac{1}{k !} .

On note que la valeur numérique de $e$ est $2.71828 \dots$ . On peut montrer que $e = lim_{n \to \infty} (1 + \frac{1}{n})^{n}$ (exercice facultatif).

Remarque 1.2. On a utilisé la notation

\sum

pour faciliter (ou pas !) l’écriture des sommes. C’est utile de savoir manipuler cette notation, voici quelques exemples de différentes façons d’écrire les mêmes expressions.

$1 + 2 + 3 + 4 + \dots 9 + 10 = n = 1 \sum 10 n = k = 1 \sum 10 k .$ L’indice utilisé n’importe pas.
$2 + 4 + 6 + \dots 18 + 20 = n = 1 \sum 10 2 n = 2 n = 1 \sum 10 n .$ Ceci découle des règles basiques de calcul.
$1 + 2 + 3 + 4 + \dots 9 + 10 = n = 1 \sum 10 n = k = 2 \sum 11 (k - 1) .$ Ceci découle d’un changement d’indice, $k = n + 1$ .
$Si ∣ r ∣ < 1, r^{N} n = 0 \sum \infty r^{n} = n = N \sum \infty r^{n} .$ Ceci découle de la définition de cette somme infinie (cf. exercice facultatif).
$n = 1 \sum 10 k = 10 k .$ Dans cet exemple, l’indice n’apparaît pas dans l’expression, c’est donc la somme $k + k + \dots + k$ , où $k$ apparaît $10$ fois.Attention: $\sum_{n = 0}^{10} k = 11 k .$

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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