Surjectivité, injectivité, bijectivité

Définition 1.1. Soit

f : A \to B

une fonction.

$f$ est surjective si $Im (f) = B$ .
$f$ est injective si pour tout $y \in B$ , il y a au plus un $x \in A$ tel que $f (x) = y$ .
$f$ est bijective si elle est à la fois injective et surjective.

Parlons d’abord de la surjectivité. La condition $Im (f) = B$ veut dire que pour chaque élément $b \in B$ , il y a un élément de $a$ qui est envoyé sur $b$ par $f$ : $f (a) = b$ .

Si une fonction $f : A \to B$ n’est pas surjective, on peut toujours restreindre son ensemble d’arrivée pour qu’elle le devienne.

Exemple 1.2. Soit

f : R \to R x \mapsto x^{2} - 4 x

On a vu dans un exemple précédent que

Im (f) = [- 4, \infty [

. La fonction

f

n’est donc pas surjective, puisque

[- 4, \infty [\neq = R

. Par contre, la fonction

\tilde{f} : R \to [- 4, \infty [x \mapsto x^{2} - 4 x

est surjective.

Graphiquement, une fonction réelle est surjective si pour tout $y \in R$ , la droite horizontale à hauteur $y$ coupe le graphe de $f$ en au moins un point.

Ensuite, l’injectivité peut être décrite graphiquement ainsi: $f$ est injective si pour tout $y \in R$ , la droite horizontale à hauteur $y$ coupe le graphe de $f$ en au plus un point.

Une fonction $f$ est injective si et seulement si

\forall x, x^{'} \in D_{f}, x \neq = x^{'} ⟹ f (x) \neq = f (x^{'}) .

Ceci veut dire que deux éléments distincts ne peuvent pas avoir la même image par $f$ . Cette condition est équivalente à sa contraposée:

\forall x, x^{'} \in D_{f}, f (x) = f (x^{'}) ⟹ x = x^{'} .

Exemples 1.3.

$f : R \to R, x \mapsto x^{2}$ n’est pas injective, car $- 1 \neq = 1$ mais $f (- 1) = 1 = f (1)$ . Par contre, $f : R_{+} \to R, x \mapsto x^{2}$ est injective.
La fonction $f : R_{+} \to R, x \mapsto \frac{x}{x ^{2} + 1}$ est-elle injective ? On a $f (x) = f (x^{'}) ⟺ \frac{x}{x ^{2} + 1} = \frac{x ^{'}}{( x ^{'} ) ^{2} + 1} ⟹ \frac{x ^{2}}{x ^{2} + 1} = \frac{( x ^{'} ) ^{2}}{( x ^{'} ) ^{2} + 1} ⟹ x^{2} ((x^{'})^{2} + 1) = (x^{'})^{2} (x^{2} + 1) ⟹ x^{2} = (x^{'})^{2} ⟹ x^{2} - (x^{'})^{2} = 0 ⟹ (x - x^{'}) (x + x^{'}) = 0.$ Puisque $\frac{x}{x ^{2} + 1} = \frac{x ^{'}}{( x ^{'} ) ^{2} + 1}$ implique que $sgn (x) = sgn (x^{'})$ , on a donc $f (x) = f (x^{'}) ⟹ x - x^{'} = 0 ⟹ x = x^{'},$ d’où la fonction est injective.
La fonction $f : R^{*} \to R, x \mapsto x - \frac{4}{x}$ est-elle injective ? On a $f (x) = f (x^{'}) ⟺ x - \frac{4}{x} = x^{'} - \frac{4}{x ^{'}} ⟺ x^{2} x^{'} - 4 x^{'} = x (x^{'})^{2} - 4 x ⟺ (x - x^{'}) (x x^{'} + 4) = 0 ⟺ x = x^{'} ou x^{'} = \frac{- 4}{x} .$ Si $x^{'} = \frac{- 4}{x}$ , on a donc $f (x) = f (x^{'})$ . On peut prendre par exemple $x = 1$ et $x^{'} = - 4 \neq = x$ , et on aura $f (1) = f (- 4)$ . La fonction n’est donc pas injective.

On remarque que pour montrer qu’une fonction $f$ réelle n’est pas injective, il suffit de trouver deux nombres réels distincts qui sont envoyé au même nombre réel.

Théorème 1.4. Une fonction strictement monotone est injective.

Soit

f

strictement croissante (la preuve est similaire dans le cas d’une fonction strictement décroissante). Soit

x \neq = x^{'}

. Alors on a

x < x^{'}

(ou

x^{'} < x

) et donc

f (x) < f (x^{'})

(respectivement

f (x^{'}) < f (x)

). Ainsi,

f (x) \neq = f (x^{'})

□

Une fonction bijective $f : A \to B$ est

surjective, et donc tout $y \in B$ possède au moins une préimage,
injective, et donc tout $y \in B$ possède au plus une préimage.

On a alors que pour une fonction bijective $f : A \to B$ , tout $y \in B$ possède exactement une préimage. Ceci nous permet de définir la fonction

f^{- 1} : B y \mapsto l’unique pr \overset{e}{ˊ} image de y . \to A

Cette fonction est appelée la fonction réciproque de $f$ . On a

f (f^{- 1} (y)) f^{- 1} (f (x)) = y \forall y \in B, = x \forall x \in A .

Exemples 1.5.

$f : R_{+} \to R_{+}, x \mapsto x^{2}$ est bijective. Sa réciproque est la racine carrée, $f^{- 1} : R_{+} \to R_{+}, y \mapsto y$ .
$f : R \to R, x \mapsto sin (x)$ n’est pas surjective (par ex. car $y = 2$ n’a pas de préimage). $f : R \to [- 1, 1], x \mapsto sin (x)$ est surjective mais pas injective (par ex. car $sin (0) = sin (2 π)$ , mais $0 \neq = 2 π$ ). $f : [\frac{- π}{2}, \frac{π}{2}] \to [- 1, 1], x \mapsto sin (x)$ est bijective. Sa réciproque est $f^{- 1} : [- 1, 1] \to [\frac{- π}{2}, \frac{π}{2}], y \mapsto arcsin (y)$ .

Exemple 1.6. Soit

f : R \to R, x \mapsto x^{2} + 2 x - 1

Cette fonction n’est pas surjective, par ex. car

- 3

n’a pas de préimage. Par contre,

f : R \to [- 2, \infty [, x \mapsto x^{2} + 2 x - 1

est surjective, puisque on a choisi l’image de

f

comme ensemble d’arrivée. Elle n’est toujours pas injective: par ex.

f (- 2) = - 1 = f (0)

.
On peut restreindre l’ensemble de départ pour que la fonction devienne injective. Sur le graphe de

f

, on voit qu’on peut choisir la “partie droite” de la parabole, ou la “partie gauche” de la parabole.

Si on choisit la partie droite, on obtient la fonction bijective $f : [- 1, \infty [x \to [- 2, \infty [\mapsto x^{2} + 2 x - 1.$ Sa réciproque est $f^{- 1} : [- 2, \infty [y \to [- 1, \infty [\mapsto f^{- 1} (y) = - 1 + 2 + y .$ En effet, si $y \in [- 2, \infty [$ , on a $f (x) = y ⟺ x^{2} + 2 x - 1 = y ⟺ x^{2} + 2 x - 1 - y = 0 ⟺ x = \frac{- 2 \pm 4 + 4 ( 1 + y )}{2}$ et donc $x = - 1 + 2 + y$ puisque $x \in [- 1, \infty [$ (c’est-à-dire, $x ⩾ - 1$ ).
De manière analogue, si on choisit la partie gauche, on obtient la fonction bijective $f :] - \infty, - 1] x \to [- 2, \infty [\mapsto x^{2} + 2 x - 1$ dont la réciproque est $f^{- 1} : [- 2, \infty [y \to] - \infty, - 1] \mapsto f^{- 1} (y) = - 1 - 2 + y .$

On remarque qu’on obtient le graphe de la fonction réciproque $f^{- 1}$ en reflétant le graphe de $f$ par rapport à la diagonale $y = x$ .

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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