Limites latérales

L’exemple précédent suggère la définition suivante.

Définition 1.1.

La limite à droite de $f$ lorsque $x \to x_{0}$ est égale à $L$ si $\forall ε > 0, \exists δ > 0 tel que x_{0} < x ⩽ x_{0} + δ ⟹ ∣ f (x) - L ∣ ⩽ ε .$ On écrit $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = L$ .
La limite à gauche de $f$ lorsque $x \to x_{0}$ est égale à $L$ si $\forall ε > 0, \exists δ > 0 tel que x_{0} - δ ⩽ x < x_{0} ⟹ ∣ f (x) - L ∣ ⩽ ε .$ On écrit $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = L$ .

Théorème 1.2. $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L ⟺ lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = L .$

Exemples 1.3.

Soit $f (x) = {x x^{2} si x < 3, si x ⩾ 3.$ On a $lim_{x \to 3^{-}} f (x) = 3 \neq = 9 = lim_{x \to 3^{+}} f (x)$ , et donc $lim_{x \to 3} f (x)$ n’existe pas.
Soit $f (x) = {x \frac{x}{2} + 1 si x ⩽ 2, si x > 2.$ On a $lim_{x \to 2^{-}} f (x) = 2 = lim_{x \to 2^{+}} f (x)$ , et donc $lim_{x \to 2} f (x) = 2$ .
Soit $f (x) = \frac{x}{x ^{4} + 3 x ^{2}}$ et $x_{0} = 0$ . On a $x \to 0^{-} lim f (x) = x \to 0^{-} lim \frac{x}{∣ x ∣ x ^{2} + 3} = x \to 0^{-} lim \frac{x}{- x x ^{2} + 3} = x \to 0^{-} lim \frac{- 1}{x ^{2} + 3} = \frac{- 1}{3},$ et $x \to 0^{+} lim f (x) = x \to 0^{+} lim \frac{x}{∣ x ∣ x ^{2} + 3} = x \to 0^{+} lim \frac{x}{x x ^{2} + 3} = x \to 0^{+} lim \frac{1}{x ^{2} + 3} = \frac{1}{3} .$ La limite $lim_{x \to 0} f (x)$ n’existe donc pas.
La fonction signe est définie comme suit: $sgn (x) = {1 - 1 si x > 1, si x < 1.$
Elle n’admet pas de limite en $0$ puisque $lim_{x \to 0^{-}} sgn (x) = - 1$ et $lim_{x \to 0^{+}} sgn (x) = 1$ .

La caractérisation par les suites et le théorème sur les limites latérales sont deux façons de montrer qu’une limite n’existe pas. Il faut choisir la méthode la plus adaptée selon la situation.

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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