Les infiniment petits équivalents nous permettront de calculer les limites en comparant des fonctions qui tendent vers zéro “à la même vitesse”.

Preuve

On l’a déjà dit, ${\lim }_{x\to 0}\sin (x)={\lim }_{x\to 0}x=0$.
Pour montrer que ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (x)}{x}=1$, il suffit de montrer que ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{\sin (x)}{x}=1$, puisque la fonction $\frac{\sin (x)}{x}$ est paire. Soit $0<x<\frac{\pi }{2}$. On compare des aires dans le dessin suivant d’un quart de cercle trigonométrique.

On a donc $$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}\cdot 1\cdot & \sin (x)⩽\pi \cdot 1^2\cdot \frac{x}{2\pi }⩽\frac{1}{2}\cdot 1\cdot \tan (x)\\ & ⟺\frac{\sin (x)}{2}⩽\frac{x}{2}⩽\frac{\tan (x)}{2}\\ & ⟺\sin (x)⩽x⩽\tan (x)\\ & ⟺1⩽\frac{x}{\sin (x)}⩽\frac{1}{\cos (x)}\\ & ⟺\cos (x)⩽\frac{\sin (x)}{x}⩽1.\end{array}$$ (Ces manipulations sont justifiées par le fait que $\sin (x),\cos (x),x>0$). Puisque ${\lim }_{x\to 0}\cos (x)=1$, le Théorème des deux gendarmes implique que ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (x)}{x}=1$. Ceci montre que $\sin (x)\sim x$ au voisinage de $0$.
On a ${\lim }_{x\to 0}\tan (x)={\lim }_{x\to 0}x=0$, et $$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan (x)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}\cdot \frac{1}{\cos (x)}=1$$ puisque ${\lim }_{x\to 0}\frac{\sin (x)}{x}=1$ par le raisonnement au-dessus, et ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{\cos (x)}=1.$
Remarquons pour commencer que ${\lim }_{x\to 0}(1-\cos (x))=0$, et ${\lim }_{x\to 0}\frac{x^2}{2}=0$. Ensuite, on peut écrire $$\begin{array}{rl}\frac{1-\cos (x)}{x^2/2}& =\frac{1-\cos (x)}{x^2/2}\cdot \frac{1+\cos (x)}{1+\cos (x)}\\ & =\frac{1-{\cos }^2(x)}{x^2}\cdot \frac{2}{1+\cos (x)}\\ & ={\left(\frac{\sin (x)}{x}\right)}^2\cdot \frac{2}{1+\cos (x)},\end{array}$$ et donc $$\begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos (x)}{x^2/2}& ={\left(\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin (x)}{x}\right)}^2\cdot \left(\underset{x\to 0}{\lim }\frac{2}{1+\cos (x)}\right)\\ & =1^2\cdot 1=1.\end{array}$$

$\square$

Dans un calcul de limite, on peut remplacer une fonction par son IPE dans une expression factorisée. En effet, si $f\sim \tilde{f}$ au voisinage de $x_0$,

Et dans un quotient, si $f\sim \tilde{f}$ et $g\sim \tilde{g}$ au voisinage de $x_0$, alors

On peut faire des changements de variable pour se ramener aux IPE connus.

Notons aussi que, par exemple, on a $\sin (5x^3)\sim 5x^3$ au voisinage de $0$, puisque ${\lim }_{x\to 0}5x^3=0$.

Attention: on ne peut pas remplacer une fonction par son IPE dans un calcul de limite d’une somme, comme montre l’exemple suivant.