La dérivée d’une fonction évaluée en $x_0\in \mathbb{R}$ nous donne la pente de la tangente à la courbe définie par la fonction dans le plan au point $(x_0,f(x_0))$. On peut utiliser la dérivée pour résoudre des problèmes géométriques, comme ci-dessous.

Attention: il ne faut pas confondre la fonction dérivée avec l’équation de la tangente !

Exemple 5.24. Soit $f(x)=\sqrt{1-x^2}$, $D_f=[-1,1]$.

Déterminons l’équation de la tangente $t$ au graphe de $f$ en $x_0=\frac{\sqrt{3}}{2}$. On sait que l’équation de $t$ est donnée par $$y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0).$$ On a d’abord que $$f(x_0)=\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{3}{4}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2},$$ et puisque $$f^{\prime }(x)={\left[{\left(1-x^2\right)}^{\frac{1}{2}}\right]}^{\prime }=\frac{{\left(1-x^2\right)}^{\prime }}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}},$$ on peut calculer $f^{\prime }(x_0)=\frac{-\sqrt{3}/2}{\sqrt{1-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2}}=-\sqrt{3}$. L’équation de $t$ est donc $$y=-\sqrt{3}(x-\frac{\sqrt{3}}{2})+\frac{1}{2}.$$

On peut aussi chercher des tangentes à une courbe sans connaître a priori le point de tangence.

Exemple 5.25. Soit $f(x)=x-\sqrt{x^2+1}$. Déterminons l’équation de la tangente $t$ au graphe de $f$ issue du point $P(2,1)$.

Il s’agit ici de déterminer le point de tangence $(x_0,f(x_0))$ (où la tangente touche de graphe de $f$).
$t$ a l’équation $y=f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+f(x_0)$. Comme $t$ passe par $P(2,1)$, on doit avoir $1=f^{\prime }(x_0)(2-x_0)+f(x_0)$. Résolvons cette équation pour trouver $x_0$. Il nous faut d’abord calculer la dérivée en un point quelconque: $$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{2}\cdot \frac{2x}{\sqrt{x^2+1}}=1-\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}⟹f^{\prime }(x_0)=1-\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+1}}.$$ Ainsi, l’équation du dessus en $x_0$ devient $$\begin{array}{rl}& 1=(1-\frac{x_0}{\sqrt{x_0^2+1}})(2-x_0)+\left(x_0-\sqrt{x_0^2+1}\right)\\ ⟺& 1=2-x_0-\frac{2x_0}{\sqrt{x_0^2+1}}+\frac{x_0^2}{\sqrt{x_0^2+1}}+x_0-\sqrt{x_0^2+1}\\ ⟺& -1=\frac{x_0^2-2x_0}{\sqrt{x_0^2+1}}-\sqrt{x_0^2+1}\\ ⟺& -\sqrt{x_0^2+1}=x_0^2-2x_0-\left(x_0^2+1\right)\\ ⟺& 2x_0+1=\sqrt{x_0^2+1}(\text{et donc }2x_0+1⩾0)\\ ⟺& (2x_0+1{)}^2=x_0^2+1\text{ et }{x}_0⩾\frac{-1}{2}\\ ⟺& 4x_0^2+4x_0+1=x_0^2+1\text{ et }{x}_0⩾\frac{-1}{2}\\ ⟺& x_0(3x_0+4)=0\text{ et }{x}_0⩾\frac{-1}{2}\\ ⟺& x_0=0\text{ car }\frac{-4}{3}<\frac{-1}{2}.\end{array}$$ L’équation de $t$ est donc $$\begin{array}{rl}y=f^{\prime }(0)(x-0)+f(0)& =\left(1-\frac{0}{\sqrt{0^2+1}}\right)x+\left(0-\sqrt{0^2+1}\right)\\ & =x-1.\end{array}$$

5.4.1 Tangente commune à deux courbes

Considérons deux fonctions $y=f(x)$ et $y=g(x)$, et considérons une tangente commune à leurs graphes, c’est-à-dire une droite qui est tangente à la fois au graphe de $f$ et au graphe de $g$:

Les points de tangence sont a priori distincts (comme sur l’image), on les nomme $x_1$ et $x_2$,

Pour trouver l’équation $y=mx+c$ de la tangente commune, il faut que

et que les points $(x_1,f(x_1))$ et $(x_2,g(x_2))$ soient tous deux sur la droite $y=mx+c$.

Exemple 5.26. Cherchons les tangentes communes aux graphes des fonctions $f(x)=x^2+2$ et $g(x)=-x^2+6x-7=-(x-3{)}^2+2$.

• On a $m=f^{\prime }(x_1)=g^{\prime }(x_2)$:

  $$\begin{array}{rl}m& =f^{\prime }(x_1)=2x_1\\ m& =g^{\prime }(x_2)=-2x_2+6.\end{array}$$

  On a donc $2x_1=-2x_2+6⟺x_1=-x_2+3$.

• $(x_1,f(x_1))$ se trouve sur la tangente commune $y=mx+c$:$$\begin{array}{rl}f(x_1)& =m{x}_1+c\\ x_1^2+2& =(2x_1)x_1+c\\ c& =-x_1^2+2.\end{array}$$
• $(x_2,g(x_2))$ se trouve sur la tangente commune $y=mx+c$:$$\begin{array}{rl}g(x_2)& =m{x}_2+c\\ -x_2^2+6x_2-7& =(-2x_2+6)x_2+c\\ c& =x_2^2-7.\end{array}$$

• Les inconnues $x_1,x_2,c$ doivent donc satisfaire

  $$\{\begin{array}{l}{x}_1=-x_2+3\\ c=-x_1^2+2\\ c=x_2^2-7\end{array}$$

  On peut commencer par égaler la deuxième et la troisième équation, puis insérer la première:

  $$\begin{array}{rl}-x_1^2+2=x_2^2-7⟺& -(-x_2+3{)}^2+2=x_2^2-7\\ ⟺& 2x_2(x_2-3)=0.\end{array}$$

  On a donc deux solutions:

  $$x_2=0,x_1=3\text{ et }{x}_2=3,x_1=0.$$

  Les deux tangentes communes sont donc

  $$\begin{array}{rl}{t}_1& :y=6x-7\\ t_2& :y=2.\end{array}$$