6.4 Exemples

Exemple 6.13. Sur

D = R ∖ {1}

, considérons la courbe paramétrée

M (t) = (x (t), y (t))

, où

x (t) = \frac{1}{1 - t}, y (t) = \frac{t ^{2}}{1 - t} .

Etude des branches infinies: La courbe peut admettre des branches infinies aux bornes de son domaine: en

\pm \infty

et en

1

Lorsque $t \to - \infty$ ,
$t \to - \infty lim x (t) = 0, t \to - \infty lim y (t) = + \infty .$
La courbe admet donc une asymptote verticale d’équation $x = 0$ . Remarquons que $x (t) > 0$ pour $t < 1$ et en particulier au voisinage de $- \infty$ ; la courbe reste donc à droite de son asymptote lorsque $t \to - \infty$ .
Lorsque $t \to + \infty$ ,
$t \to - \infty lim x (t) = 0, t \to - \infty lim y (t) = - \infty .$
La courbe admet donc la même asymptote verticale d’équation $x = 0$ , avec $x (t) < 0$ au voisinage de $+ \infty$ ; la courbe reste donc à gauche de son asymptote lorsque $t \to + \infty$ .
Lorsque $t \to - 1^{-}$ ,
$t \to - 1^{-} lim x (t) = t \to - 1^{-} lim y (t) = + \infty .$
Pour détecter une potentielle asymptote oblique lorsque $t$ tend vers $- 1$ par la gauche, on calcule
$t \to - 1^{-} lim \frac{y ( t )}{x ( t )} = t \to - 1^{-} lim t^{2} = 1, t \to - 1^{-} lim y (t) - 1 \cdot x (t) = t \to - 1^{-} lim - (t + 1) = - 2 .$
La courbe admet donc une asymptote oblique d’équation $y = x - 2$ lorsque $t \to - 1^{-}$ .
De plus, on peut vérifier que $y (t) - (x (t) - 2) = - t + 1$ est positif pour $t < 1$ , en particulier pour $t$ tendant vers $1$ par la gauche; donc on sait que la courbe reste au-dessus de la droite $y = x - 2$ lorsque $t \to - 1^{-}$ .
Lorsque $t \to - 1^{+}$ , un calcul similaire nous permet d’obtenir la même asymptote oblique d’équation $y = x - 2$ et de vérifier que la courbe reste au-dessous de cette asymptote.
Etudions ensuite le vecteur tangent. On a
$\dot{r} (t) = \frac{1}{( 1 - t ) ^{2}} \frac{2 t - t ^{2}}{( 1 - t ) ^{2}} .$
$\overset{x}{˙} (t) > 0$ pour tout $t \in D$ , et
$\overset{y}{˙} (t) = 0 ⟺ 2 t - t^{2} = 0 ⟺ t = 0 ou t = 2 .$
La courbe admet donc deux points à tangente horizontale: $M (0) = (1, 0)$ et $M (2) = (- 1, - 4) .$ De plus:

En mettant ensemble toutes ces informations, on peut esquisser le tracé de la courbe dans le plan :

Exemple 6.14. Sur

D = R ∖ {\pm 1}

, considérons la courbe

M (t) = (x (t), y (t))

, où

x (t) = \frac{1}{t ^{2} - 1}, y (t) = \frac{t ^{2}}{t - 1} .

Il y a a priori six régions de

D

dans lesquelles au moins une des fonctions prend des valeurs grandes: proche de

\pm \infty

et proche de

t = \pm 1

(à gauche ou à droite dans chaque cas). On va donc séparer l’analyse en considérant les six limites suivantes:

Lorsque $t \to - \infty$ ,
$t \to - \infty lim x (t) = 0, t \to - \infty lim y (t) = - \infty,$
et donc la droite $x = 0$ est une asymptote verticale. (Se souvenir pour plus tard: pour des temps $t$ très éloignés dans le passé, $x (t)$ est proche de zéro, $y (t)$ est grand, négatif.)
Lorsque $t \to - 1^{-}$ ,
$t \to - 1^{-} lim x (t) = + \infty, t \to - 1^{-} lim y (t) = - \frac{1}{2},$
et donc la droite $y = - \frac{1}{2}$ est asymptote horizontale. (Se souvenir pour plus tard: pour des temps $t$ peu avant $t = - 1$ , $x (t)$ est très grand, positif, et $y (t)$ est proche de $- \frac{1}{2}$ .)
Lorsque $t \to - 1^{+}$ ,
$t \to - 1^{+} lim x (t) = - \infty, t \to - 1^{+} lim y (t) = - \frac{1}{2},$
et donc la droite $y = - \frac{1}{2}$ est asymptote horizontale. (Se souvenir pour plus tard: pour des temps $t$ peu après $t = - 1$ , $x (t)$ est très grand, négatif, et $y (t)$ est proche de $- \frac{1}{2}$ .)
Lorsque $t \to 1^{-}$ ,
$t \to 1^{-} lim x (t) = - \infty, t \to 1^{-} lim y (t) = - \infty .$
On peut donc tester l’existence d’une asymptote oblique. Commençons par
$m = t \to 1^{-} lim \frac{y ( t )}{x ( t )} = t \to 1^{-} lim \frac{t ^{2} ( t ^{2} - 1 )}{t - 1} = t \to 1^{-} lim \frac{t ^{2} ( t - 1 ) ( t + 1 )}{t - 1} = 2 .$
Ensuite,
$h = t \to 1^{-} lim (y (t) - 2 x (t)) = t \to 1^{-} lim (\frac{t ^{2}}{t - 1} - 2 \frac{1}{t ^{2} - 1}) = t \to 1^{-} lim \frac{t ^{3} + t ^{2} - 2}{t ^{2} - 1} = \frac{5}{2} .$
Ainsi, la droite d’équation $y = 2 x + \frac{5}{2}$ est asymptote oblique. (Se souvenir pour plus tard: pour des temps $t$ peu avant $t = 1$ , $x (t)$ et $y (t)$ sont tous deux grands, négatifs, et $M (t)$ est proche de cette asymptote.)
Lorsque $t \to 1^{+}$ ,
$t \to 1^{+} lim x (t) = \infty, t \to 1^{+} lim y (t) = \infty .$
Les mêmes calculs que ceux du point précédent montrent que la même droite $y = 2 x + \frac{5}{2}$ est asymptote oblique. (Se souvenir pour plus tard: pour des temps $t$ peu après $t = 1$ , $x (t)$ et $y (t)$ sont tous deux grands, positifs, et $M (t)$ est proche de cette asymptote.)
Lorsque $t \to + \infty$ ,
$t \to + \infty lim x (t) = 0, t \to + \infty lim y (t) = + \infty,$
et donc $x = 0$ est asymptote verticale. (Se souvenir pour plus tard: pour des temps $t$ très éloignés dans le futur, $x (t)$ est proche de zéro, $y (t)$ est grand, positif.)

L’étude des branches infinies permet déjà de faire une première esquisse:

Rendons l’analyse plus précise en étudiant le vecteur tangent.

r (t) = (\frac{1}{t ^{2} - 1} \frac{t ^{2}}{t - 1}), \dot{r} (t) = (\frac{- 2 t}{( t ^{2} - 1 ) ^{2}} \frac{t ( t - 2 )}{( t - 1 ) ^{2}}) .

On a donc

un point de tangence horizontale en $t = 2$ , $M (2) = (\frac{1}{3}, 4)$ ,
un point stationnaire en $t = 0$ , $M (0) = (- 1, 0)$

L’étude des signes révèle le comportement du vecteur tangent sur le reste du domaine:

Regardons ce qui se passe au voisinage du point stationnaire:

t \to 0 lim \frac{y ˙ ( t )}{x ˙ ( t )} = t \to 0 lim \frac{t ( t - 2 ) ( t ^{2} - 1 ) ^{2}}{( t - 1 ) ^{2} ( - 2 t )} = 1 .

Le point stationnaire est donc un “point de rebroussement”, proche duquel la courbe a une pente proche de

1

, indiquée en traitillé sur l’animation ci-dessous.

Exemple 6.15. Considérons la courbe de Lissajous définie par

r (t) = (sin (t) sin (2 t)), t \in [- π, π] .

Avant de commencer, deux remarques:

$x (t)$ et $y (t)$ sont des fonctions impaires, donc la partie de la courbe pour $t \in [- π, 0]$ s’obtient à partir de la partie de la courbe pour $t \in [0, π]$ , par une rotation de $18 0^{\circ}$ autour de l’origine.
De plus, on peut remarquer que pour tout $s \in R$ ,
$x (\frac{π}{2} - s) = x (s + \frac{π}{2}), y (\frac{π}{2} - s) = - y (\frac{π}{2} + s),$
et donc la partie de la courbe avec $t \in [\frac{π}{2}, π]$ s’obtient à partir de la partie avec $t \in [0, \frac{π}{2}]$ , par une réflexion à travers $O x$ .

On peut donc se concentrer sur

t \in [0, \frac{π}{2}]

. Sur cet intervalle, on a

x (t) ⩾ 0

y (t) ⩾ 0

, et les signes des dérivées

\overset{x}{˙} (t) = cos (t)

\overset{y}{˙} (2) = 2 cos (2 t)

sont donnés par:

Remarquons aussi que

M (0) = (0, 0)

M (\frac{π}{4}) = (\frac{1}{2}, 1)

M (\frac{π}{2}) = (1, 0)

, et

\dot{r} (t) = (12) .

Ces informations permettent d’esquisser le tracé pour

t \in [0, \frac{π}{2}]

, de le réfléchir à travers

O x

, puis d’effectuer une rotation du tout, de

18 0^{\circ}

autour de l’origine:

La courbe de ce dernier exemple est un cas particulier d’un type de courbe plus général,

r (t) = (sin (k t) sin (ℓ t)), t \in [- π, π]

où $k, ℓ \in N$ sont des paramètres:

Exemple 6.16. Le Folium de Descartes est défini comme

Γ = {(x, y) \in R^{2} : x^{3} - 3 x y + y^{3} = 0} .

Remarquons que si

(x, y) \in Γ

, alors

(y, x) \in Γ

.
Cherchons des points

(x, y) \in Γ

, de la forme

y = t x

. En injectant dans la condition qui définit

Γ

, on obtient

x^{3} - 3 x (t x) + (t x)^{3} = 0

, c’est-à-dire

x^{2} (x - 3 t + t^{3} x) = 0 .

On a donc deux possibilités:

$x = 0$ , qui entraîne $y = t 0 = 0$ , ou
$x = \frac{3 t}{1 + t ^{3}}$ , qui entraîne $y = t x = \frac{3 t ^{2}}{1 + t ^{3}}$ .

On peut donc étudier

Γ

à l’aide de la paramétrisation

x (t) = \frac{3 t}{1 + t ^{3}}, y (t) = \frac{3 t ^{2}}{1 + t ^{3}}, t \in R ∖ {- 1} .

Les dérivées sont

\overset{x}{˙} (t) = 3 \frac{1 - 2 t ^{3}}{( 1 + t ^{3} ) ^{2}}, \overset{y}{˙} (t) = 3 \frac{t ( 2 - t ^{3} )}{( 1 + t ^{3} ) ^{2}},

et l’étude des signes:

On a donc

un point de tangence horizontale en $M (0) = (0, 0)$ ,
un point de tangence verticale en $M (\frac{1}{3 2}) = (2^{2/3}, 2)$ ,
un point de tangence horizontale en $M (32) = (2, 2^{2/3})$ (le symétrique de $M (\frac{1}{3 2})$ à travers la diagonale),
aucun point stationnaire.

Etudions les branches infinies.
Lorsque

t \to - 1

t \to - 1^{\mp} lim x (t) = \pm \infty, t \to - 1^{\mp} lim y (t) = \mp \infty

On peut alors regarder

m = t \to - 1^{\mp} lim \frac{y ( t )}{x ( t )} = t \to - 1^{\mp} lim \frac{3 t ^{2}}{1 + t ^{3}} \cdot \frac{1 + t ^{3}}{3 t} = - 1,

puis

h = t \to - 1^{\mp} lim [y (t) - (- 1) x (t)] = t \to - 1^{\mp} lim (\frac{3 t ^{2}}{1 + t ^{3}} + \frac{3 t}{1 + t ^{3}}) = t \to - 1^{\mp} lim \frac{3 t ( t + 1 )}{1 + t ^{3}} = t \to - 1^{\mp} lim \frac{3 t ( t + 1 )}{( t + 1 ) ( t ^{2} - t + 1 )} = \frac{- 3}{3} = - 1.

et donc

y = - x - 1

est une asymptote oblique lorsque

t \to - 1^{\mp}

.
On remarque que

lim_{t \to \pm \infty} x (t) = lim_{t \to \pm \infty} y (t) = 0

.
Tracé:

(On a aussi représenté la droite

y = t x

Exemple 6.17. Soient

$γ$ le cercle de rayon $1$ centré à l’origine,
$A$ $= (2, 0)$ ,
$T$ $\in γ$ (un point qui va bouger)
$d$ la tangente à $γ$ en $T$ ,
$p$ la droite perpendiculaire à $d$ passant par $A$ ,
$M$ le point d’intersection de $p$ avec $d$ .

La trajectoire de

M

, lorsque

T

se déplace sur

γ

, est appelée le Limaçon de Pascal:

Introduisons le paramètre

t \in [- π, π]

pour localiser

T

sur le cercle:

O T (t) = (cos (t) sin (t)) .

Puisque la tangente

d

est perpendiculaire à

O T (t)

, elle est dirigée par le vecteur

(- sin (t) cos (t)) .

Pour une valeur fixée de

t

, les expressions paramétriques de

d

p

sont

d p : (x y) = (cos (t) sin (t)) + λ (- sin (t) cos (t)), λ \in R, : (x y) = (20) + μ (cos (t) sin (t)), μ \in R .

Puisque

M (t)

est le point d’intersection de ces deux droites, on pose

(cos (t) sin (t)) + λ (- sin (t) cos (t)) = (20) + μ (cos (t) sin (t)),

que l’on résout pour trouver

λ μ = - 2 sin (t) = 1 - 2 cos (t) .

On a donc le point d’intersection

M (t) = (x (t), y (t))

, où

x (t) y (t) = cos (t) + 2 sin^{2} (t), = (1 - 2 cos (t)) sin (t) .

On étudie le Limaçon ainsi paramétré, pour

t \in [- π, π]

.
Les dérivées sont

\overset{x}{˙} (t) \overset{y}{˙} (t) = - sin (t) (1 - 4 cos (t)), = - 4 cos^{2} (t) + cos (t) + 2,

et on a

$\overset{x}{˙} (t) = 0$ si et seulement si $sin (t) = 0$ ou $cos (t) = \frac{1}{4}$ , ce qui implique $t = 0$ , $t = \pm π$ , ou $t = \pm s_{2}$ , où $s_{2} := arccos (\frac{1}{4}) \approx 75. 6^{\circ}$
$\overset{y}{˙} (t) = 0$ si et seulement si $cos (t) = \frac{1 \pm 33}{8}$ ce qui implique $t = s_{1}$ ou $s_{3}$ , où $s_{1} s_{3} := arccos (\frac{1 - 33}{8}) \approx 3 2^{\circ}, := arccos (\frac{1 + 33}{8}) \approx 126. 3^{\circ}$

On remarque que

x (t)

est paire et

y (t)

est impaire, donc la partie

t \in [- π, 0]

s’obtient à partir de la partie

t \in [0, π]

par réflexion à travers

O x

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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