Dans cette section, on voit quelques méthodes pour calculer la longueur d’une courbe dans le plan; on parlera aussi de longueur d’arc.

Longueur du graphe d’une fonction

Considérons pour commencer une fonction $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, et voyons comment calculer la longueur de son graphe, que nous noterons $L$.

Soit $\{x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n\}$ une subdivision de l’intervalle $[a,b]$. Considérons l’approximation du graphe de $f$ par la ligne polygonale obtenue en reliant, pour chaque $i=1,2,\dots ,n$, le point $(x_{i-1},f(x_{i-1}))$ à $(x_i,f(x_i))$, par un segment. Soit $L_i$ la longueur de ce segment.

Ainsi, la longueur d’arc $L$ est approximée par

Mais, par le Théorème de Pythagore, on a

et remarquons que si $f$ est dérivable, alors lorsque $n$ est grand,

L’approximation par la ligne polygonale est donc

Si $f^{\prime }$ est elle-même continue, alors dans la limite $n\to \infty$, cette dernière somme tend vers l’intégrale

On peut interpréter cette intégrale comme étant

où $d\ell (x)=\sqrt{1+f^{\prime }(x{)}^2}dx$ est l’élément de longueur infinitésimal de la courbe au-dessus du point $x$:

Longueur d’une courbe paramétrée

Soit maintenant une courbe paramétrée,

telle que les fonctions $x(t)$ et $y(t)$ sont dérivables et dont les dérivées sont continues. Comme on a fait plus haut, on prend une subdivision régulière $\{t_0,t_1,\dots t_n\}$ de l’intervalle $[\alpha ,\beta ]$ et on approxime la courbe en prenant sur chaque intervalle $[t_{i-1},t_i]$ le segment de droite reliant $M(t_{i-1})$ à $M(t_i)$. Soit $L_i$ la longueur de ce segment.

Ainsi, la longueur d’arc $L$ est approximée par

Par le Théorème de Pythagore,

Encore une fois, si $x(t)$ et $y(t)$ sont dérivables alors lorsque $n$ est grand,

et l’approximation par la ligne polygonale est

Lorsque les dérivées $\dot{x}(t)$ et $\dot{y}(t)$ sont continues, cette dernière somme converge, lorsque $n\to \infty$, vers l’intégrale

On remarque qu’en prenant le vecteur tangent

la formule ci-dessus devient

On a

où $d\ell (t)=\Vert \dot{\vec{r}}(t)\Vert dt$ est l’élément de longueur infinitésimal.

Exemple 1.2. Une cycloïde est la trajectoire décrite par un point $M$ fixé sur le bord d’un disque de rayon $R$, lorsque ce dernier roule sur la droite:

On se propose ici de calculer la longueur de la cycloïde, lorsque le disque effectue un tour complet.
Pour paramétriser la position du point $M(t)=(x(t),y(t))$, utilisons l’angle $t\in [0,2\pi ]$ fait par le rayon (segment reliant le centre du disque au point) avec la verticale. La position du centre du disque pour une valeur $t$ de l’angle est donnée par $$C(t)=(Rt,R)$$ Ensuite, $$\overrightarrow{C(t)M(t)}=\left(\begin{array}{c}-R\sin (t)\\ -R\cos (t)\end{array}\right)$$Par la relation de Chasles, $$\overrightarrow{OM(t)}=\overrightarrow{OC(t)}+\overrightarrow{C(t)M(t)},$$ et donc $$\overrightarrow{OM(t)}=\left(\begin{array}{c}Rt-R\sin (t)\\ R-R\cos (t)\end{array}\right),t\in [0,2\pi ]$$ La longueur d’arc est donc donnée par $$\begin{array}{rl}L& ={\int }_0^{2\pi }\sqrt{\dot{x}(t{)}^2+\dot{y}(t{)}^2}dt\\ & ={\int }_0^{2\pi }\sqrt{(R-R\cos (t){)}^2+(R\sin (t){)}^2}dt\\ & =R{\int }_0^{2\pi }\sqrt{2-2\cos (t)}dt\\ & =\sqrt{2}R{\int }_0^{2\pi }\sqrt{1-\cos (t)}dt\\ & =\sqrt{2}R{\int }_0^{2\pi }\sqrt{2{\sin }^2\left(\frac{t}{2}\right)}dt(u=\frac{t}{2})\\ & ={\sqrt{2}}^{2}R{\int }_0^{\pi }|\sin (u)|\cdot 2du\\ & =4R{\int }_0^{\pi }\sin (u)du\\ & =8R.\end{array}$$