Limites ``combinées'' et indéterminations

Limites “combinées” et indéterminations

$(a_{n} \to + \infty et b_{n} \to + \infty) ⟹ a_{n} + b_{n} \to + \infty$ .
$(a_{n} \to + \infty et b_{n} \to + \infty) ⟹ a_{n} - b_{n}$ est indéterminé (“ $\infty - \infty$ ”).Exemples:
- $lim_{n \to \infty} (3^{n} - 2^{n}) = + \infty$ ,
- $lim_{n \to \infty} (n + 1 - n) = lim_{n \to \infty} \frac{( n + 1 - n ) ( n + 1 + n )}{n + 1 + n} = lim_{n \to \infty} \frac{( n + 1 - n )}{n + 1 + n} = lim_{n \to \infty} \frac{1}{n + 1 + n} = 0.$
$(a_{n} \to + \infty et b_{n} \to + \infty) ⟹ \frac{a _{n}}{b _{n}}$ est indéterminé $(‘‘ \frac{\infty}{\infty} ")$ .Exemple:
- $lim_{n \to \infty} \frac{n ^{2} + 1}{2 n ^{2} - 1} = lim_{n \to \infty} \frac{n ^{2} ( 1 + \frac{1}{n ^{2}} )}{n ^{2} ( 2 - \frac{1}{n ^{2}} )} = lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n ^{2}}}{2 - \frac{1}{n ^{2}}} = \frac{1}{2} .$
$(a_{n} \to + \infty et b_{n} est born \overset{e}{ˊ} e) ⟹ a_{n} + b_{n} \to + \infty$ .
$(a_{n} \to + \infty et b_{n} \to L, L \neq = 0) ⟹ a_{n} b_{n} \to {+ \infty - \infty si L > 0, si L < 0.$
$(a_{n} \to + \infty et b_{n} \to 0) ⟹ a_{n} b_{n}$ est indéterminé (“ $\infty \times 0$ ”).Exemples:
- $n^{2} \cdot \frac{1}{n} \to + \infty$ ,
- $n \cdot \frac{1}{n} \to 1$ ,
- $n \cdot \frac{1}{n ^{2}} \to 0$ ,
- $n \cdot \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ ne converge pas.
$(a_{n} \to + \infty et \exists δ > 0 tel que b_{n} ⩾ δ \forall n suffisamment grand) ⟹ a_{n} b_{n} \to + \infty$ .Exemple:
- $x_{n} = n (1 + \frac{1}{3} cos (n^{2} + 7)) \to + \infty$ , car $n \to + \infty$ et $1 + \frac{1}{3} cos (n^{2} + 7) ⩾ 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} = δ > 0$ .
$(a_{n} \to + \infty et \exists δ > 0 tel que b_{n} ⩽ - δ \forall n suffisamment grand) ⟹ a_{n} b_{n} \to - \infty$ .

Remarquons que pour les deux dernières propriétés, il ne suffit pas d’avoir $b_{n} > 0$ (ou $b_{n} < 0$ ): il nous faut que $b_{n}$ “reste loin de $0$ ”. Par exemple, si $a_{n} = n \to + \infty$ et $b_{n} = \frac{1}{n}$ , on a $a_{n} b_{n} = 1$ $\forall n$ , même si $b_{n} > 0$ pour tout $n$ .

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

© 2026 Projet Botafogo. En savoir plus.