• $(a_n\to +\infty \text{ et }{b}_n\to +\infty )⟹a_n+b_n\to +\infty$.

• $(a_n\to +\infty \text{ et }{b}_n\to +\infty )⟹a_n-b_n$ est indéterminé (“$\infty -\infty$”).

  Exemples:

  • ${\lim }_{n\to \infty }(3^n-2^n)=+\infty$,
  • $$\begin{gathered} {\lim }_{n\to \infty }(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})={\lim }_{n\to \infty }\frac{(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}} \\ ={\lim }_{n\to \infty }\frac{(n+1-n)}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}={\lim }_{n\to \infty }\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}=0. \end{gathered}$$

• $(a_n\to +\infty \text{ et }{b}_n\to +\infty )⟹\frac{a_n}{b_n}$ est indéterminé $\left(‘‘\frac{\infty }{\infty }"\right)$.

  Exemple:

  • ${\lim }_{n\to \infty }\frac{n^2+1}{2n^2-1}={\lim }_{n\to \infty }\frac{n^2\left(1+\frac{1}{n^2}\right)}{n^2\left(2-\frac{1}{n^2}\right)}={\lim }_{n\to \infty }\frac{1+\frac{1}{n^2}}{2-\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{2}.$

• $(a_n\to +\infty \text{ et }{b}_n\text{ est borneˊe })⟹a_n+b_n\to +\infty$.
• $(a_n\to +\infty \text{ et }{b}_n\to L,L\ne 0)⟹a_n{b}_n\to \{\begin{array}{ll}+\infty & \text{ si }L>0,\\ -\infty & \text{ si }L<0.\end{array}$

• $(a_n\to +\infty \text{ et }{b}_n\to 0)⟹a_n{b}_n$ est indéterminé (“$\infty \times 0$”).

  Exemples:

  • $n^2\cdot \frac{1}{n}\to +\infty$,
  • $n\cdot \frac{1}{n}\to 1$,
  • $n\cdot \frac{1}{n^2}\to 0$,
  • $n\cdot \frac{(-1{)}^n}{n}$ ne converge pas.

• $$\begin{gathered} (a_n\to +\infty \text{ et }\exists \delta >0\text{ tel que }{b}_n⩾\delta \forall n\text{ suffisamment grand })⟹ \\ {a}_n{b}_n\to +\infty \end{gathered}$$.

  Exemple:

  • $x_n=n\left(1+\frac{1}{3}\cos (n^2+7)\right)\to +\infty$, car $n\to +\infty$ et $1+\frac{1}{3}\cos (n^2+7)⩾1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}=\delta >0$.

• $$\begin{gathered} (a_n\to +\infty \text{ et }\exists \delta >0\text{ tel que }{b}_n⩽-\delta \forall n\text{ suffisamment grand })⟹ \\ {a}_n{b}_n\to -\infty \end{gathered}$$.

Remarquons que pour les deux dernières propriétés, il ne suffit pas d’avoir $b_n>0$ (ou $b_n<0$): il nous faut que $b_n$ “reste loin de $0$”. Par exemple, si $a_n=n\to +\infty$ et $b_n=\frac{1}{n}$, on a $a_n{b}_n=1$ $\forall n$, même si $b_n>0$ pour tout $n$.