Intégration par parties

Soient $f, g$ deux fonctions dérivables. La règle de dérivation pour leur produit,

(f (x) g (x))^{'} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x)

peut s’écrire

f^{'} (x) g (x) = (f (x) g (x))^{'} - f (x) g^{'} (x) .

Si on suppose que $f^{'}$ et $g^{'}$ sont continues, le théorème fondamental garantit que la fonction $f^{'} (x) g (x)$ possède une intégrale indéfinie, et

\int f^{'} (x) \cdot g (x) d x = = f (x) \cdot g (x) \int (f (x) \cdot g (x))^{'} d x - \int f (x) \cdot g^{'} (x) d x .

C’est la formule d’intégration par parties:

\int f^{'} (x) \cdot g (x) d x = f (x) \cdot g (x) - \int f (x) \cdot g^{'} (x) d x

On utilise cette formule lorsqu’on cherche la primitive d’un produit dans lequel on a pu identifier une partie que l’on va intégrer, $f^{'} (x)$ , et une partie que l’on va dériver, $g (x)$ .

Exemples 1.1.

$\int g (x) x \cdot f^{'} (x) sin (x) d x = - cos (x) \cdot x - \int (- cos (x) \cdot 1) d x = - x cos (x) + \int cos (x) d x = - x cos (x) + sin (x) + C .$
$\int f^{'} (x) x \cdot g (x) ln (x) d x = \frac{x ^{2}}{2} \cdot ln (x) - \int \frac{x ^{2}}{2} \cdot \frac{1}{x} d x = \frac{x ^{2}}{2} \cdot ln (x) - \frac{1}{2} \int x d x = \frac{x ^{2}}{2} \cdot ln (x) - \frac{1}{4} x^{2} + C .$
$\int ln (x) d x = \int f^{'} (x) 1 \cdot g (x) ln (x) d x = x \cdot ln (x) - \int x \cdot \frac{1}{x} d x = x \cdot ln (x) - x + C .$

Avec la notation $F (x) ∣_{a}^{b} := F (b) - F (a)$ , on peut aussi donner une version de l’intégration par parties pour les intégrales définies:

\int_{a}^{b} f^{'} (x) \cdot g (x) d x = f (x) g (x) ∣_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f (x) \cdot g^{'} (x) d x .

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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