Analyse B (MAN)

Soit

r \in R

et soit

a_{n} := r^{n}

. Alors

n \to \infty lim a_{n} ⎩ ⎨ ⎧ tend vers + \infty = 1 = 0 n’existe pas si r > 1, si r = 1, si - 1 < r < 1, si r ⩽ - 1.

Une suite de la forme

a_{n} = r^{n}

r \in R

, est appelée suite géométrique.

On considère maintenant la suite $(S_{n})_{n ⩾ 0}$ définie par

S_{0} S_{1} S_{2} ⋮ S_{n} ⋮ := 1 := 1 + r := 1 + r + r^{2} := 1 + r + r^{2} + \dots + r^{n}

n \to \infty lim S_{n} ⎩ ⎨ ⎧ = + \infty (diverge) = \frac{1}{1 - r} n’existe pas si r ⩾ 1, si - 1 < r < 1, si r ⩽ - 1.

Sur l’animation suivante, on observe le comportement de la suite $(S_{n})_{n ⩾ 0}$ , en fonction de $r$ :

Animation disponible sur https://botafogo.saitis.net/analyse-1

r ⩾ 1

S_{n} = 1 + r + r^{2} + \dots + r^{n} ⩾ 1 + 1 + 1 + \dots + 1 = n + 1 \to + \infty

, donc

S_{n} \to + \infty

par le théorème du chien méchant.
Si

r < 1

, on a

S_{n} r S_{n} = 1 + r + r^{2} + \dots + r^{n} = r + r^{2} + r^{3} + \dots + r^{n + 1},

et donc

S_{n} - r S_{n} = S_{n} (1 - r) = 1 - r^{n + 1}

. On obtient

S_{n} = \frac{1 - r ^{n + 1}}{1 - r} .

En vue du lemme précédent, si

- 1 < r < 1

, on a

lim_{n \to \infty} S_{n} = \frac{1}{1 - r}

, et si

r ⩽ - 1

S_{n}

n’a pas de limite.

On voit donc que pour $∣ r ∣ < 1$ , la somme infinie $1 + r + r^{2} + r^{3} + \dots$ converge.

La suite $(S_{n})$ au-dessus est appelée la suite des sommes partielles.

Soit

r \in R

tel que

∣ r ∣ < 1

. La somme infinie

1 + r + r^{2} + r^{3} + \dots

est appelée série géométrique, et

r

est dit la raison de cette série. On peut écrire

\sum_{n = 0}^{\infty} r^{n}

Attention: une somme infinie n’a de sens que si elle converge.

On évalue la somme infinie $1 - 0.7 + 0. 7^{2} - 0. 7^{3} + 0. 7^{4} - \dots$ en utilisant la série géométrique de raison $- 0.7$ :
$1 - 0.7 + 0. 7^{2} - 0. 7^{3} + \dots = 1 + (- 0.7) + (- 0.7)^{2} + (- 0.7)^{3} + \dots = \frac{1}{1 - ( - 0.7 )} = \frac{10}{17} .$
On évalue la somme infinie $\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{3} + \dots$ en utilisant la série géométrique de raison $\frac{1}{2}$ :
$\frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{3} + \dots = \frac{1}{2} [1 + \frac{1}{2} + (\frac{1}{2})^{2} + \dots] = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 1.$
La somme infinie $1 + 2 + 2^{2} + 2^{3} + 2^{4} + \dots$ ne converge pas, puisque $r = 2 > 1$ .

Les séries géométriques sont utiles dans plein de contextes. Voici un exemple géométrique: le flocon de von Koch.
On construit les formes géométriques suivantes par récurrence, en commençant par un triangle équilatéral

F_{0}

, d’aire

1

. À chaque étape, on “colle” des petits triangles équilatéraux au milieu de chaque côté de la forme précédente (la longueur des côtés d’un petit triangle est un tiers de la longueur du côté à laquelle on le colle).

On pose A_{n} et C_{n} := aire de F_{n} := nombre de c \overset{o}{ˆ} t \overset{e}{ˊ} s de F_{n} .

Ainsi, on a

A_{0} C_{0} A_{1} C_{1} A_{2} C_{2} A_{3} C_{3} ⋮ = 1 = 3 = A_{0} + C_{0} \cdot \frac{1}{9} = 1 + 3 \cdot \frac{1}{9} = 3 \cdot 4 = A_{1} + C_{1} \cdot (\frac{1}{9})^{2} = 1 + 3 \cdot \frac{1}{9} + 3 \cdot 4 \cdot (\frac{1}{9})^{2} = 3 \cdot 4 \cdot 4 = A_{2} + C_{2} \cdot (\frac{1}{9})^{3} = 1 + 3 \cdot \frac{1}{9} + 3 \cdot 4 \cdot (\frac{1}{9})^{2} + 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot (\frac{1}{9})^{3} = 3 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4

On déduit donc les expressions

A_{n} C_{n} = 1 + 3 \cdot \frac{1}{9} + 3 \cdot 4 \cdot (\frac{1}{9})^{2} + \dots + 3 \cdot 4^{n - 1} (\frac{1}{9})^{n} = 3 \cdot 4^{n}

On peut réécrire

A_{n}

de la façon suivante:

A_{n} = 1 + \frac{3}{9} [1 + \frac{4}{9} + (\frac{4}{9})^{2} + (\frac{4}{9})^{3} + \dots + (\frac{4}{9})^{n - 1}] .

On voit apparaître donc la série géométrique de raison

r = \frac{4}{9}

. Ainsi, on a

n \to \infty lim A_{n} = 1 + \frac{3}{9} \cdot \frac{1}{1 - \frac{4}{9}} = \frac{8}{5} .

On peut montrer que tout nombre réel dont le développement décimal est périodique est un nombre rationnel, à l’aide des séries géométriques. On prend l’exemple de

x = 1.151515151515 \dots

, mais ce qu’on va dire se généralise facilement à n’importe quel nombre à développement décimal périodique. On exprime

x

ainsi:

x = 1 + 0.15 + 0.0015 + 0.000015 + 0.00000015 + \dots = 1 + 15 \cdot \frac{1}{100} + 15 \cdot (\frac{1}{100})^{2} + 15 \cdot (\frac{1}{100})^{3} + \dots = 1 + 15 \cdot \frac{1}{100} [1 + \frac{1}{100} + (\frac{1}{100})^{2} + (\frac{1}{100})^{3} + \dots] = 1 + 15 \cdot \frac{1}{100} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{100}} = 1 + \frac{15}{99} = \frac{114}{99} .

On voit donc que

x = \frac{114}{99} \in Q

La série géométrique suivante est une des premières à être évaluée dans l’histoire des mathématiques, par Archimède.

L’aire

A

indiquée ci-dessus en rouge peut être évaluée en utilisant une série géométrique.

A = (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2})^{2} + (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2})^{2} + \dots = \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^{2} + (\frac{1}{4})^{3} + \dots = [1 + \frac{1}{4} + (\frac{1}{4})^{2} + (\frac{1}{4})^{3} + \dots] - 1 = \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} - 1 = \frac{1}{3} .

La méthode de Archimède était plutôt géométrique: on constate que trois fois l’aire rouge donne l’aire du carré. On a donc

3 A = 1

, d’où

A = \frac{1}{3}

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0)

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