Analyse B (MAN)

Informellement, on dit qu’une suite $(a_{n})$ converge vers une limite $L$ si les termes de la suite deviennent arbitrairement proches de $L$ lorsque l’indice $n$ est suffisamment grand. Pour rendre cette définition plus mathématiquement précise, il nous faut une façon d’exprimer cette notion de devenir “arbitrairement proche” de $L$ .

On peut exprimer la distance entre deux nombres réels $a$ et $b$ en utilisant la valeur absolue: $∣ a - b ∣$ . Ainsi, ${x \in R : ∣ a - x ∣ ⩽ ε}$ est l’ensemble des $x$ qui sont à distance au plus $ε$ de $a$ . Un tel $x$ est dit $ε$ -proche de $a$ , et cet ensemble est appelé l’ $ε$ -voisinage de $a$ . On a

{x \in R : ∣ a - x ∣ ⩽ ε} = [a - ε, a + ε] .

Pour que $(a_{n})$ converge vers $L$ , on voudrait que les termes de la suite finissent par être dans l’ $ε$ -voisinage de $L$ , pour $ε$ aussi petit qu’on veut.

Une suite

(a_{n})

converge vers une limite

L \in R

si pour tout

ε > 0

, il existe

N \in N^{*}

tel que pour tout

n ⩾ N

∣ a_{n} - L ∣ ⩽ ε

. On écrit

lim_{n \to \infty} a_{n} = L

a_{n} \to L

L’indice $N$ va en général dépendre de $ε$ .

Soit $a_{n} = \frac{1}{n}$ . On montre que $a_{n} \to 0$ .
Soit $ε > 0$ . On cherche $N$ tel que $∣ a_{n} - 0∣ ⩽ ε$ pour tout $n ⩾ N$ . On a $∣ a_{n} - 0∣ = \frac{1}{n} - 0 = \frac{1}{n} ⩽ ε ⟺ n ⩾ \frac{1}{ε} .$ Donc si on prend n’importe quel $N$ tel que $N ⩾ \frac{1}{ε}$ , on aura bien que $∣ a_{n} - 0∣ ⩽ ε$ pour tout $n ⩾ N$ .
Soit $a_{n} = \frac{1}{2 n + 1}$ . On montre que $a_{n}$ ne tend pas vers $\frac{1}{2}$ .
On a $a_{n} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2} = \frac{2 - ( 2 n + 1 )}{2 ( 2 n + 1 )} = \frac{2 n - 1}{4 n + 2}$ , et donc
$a_{n} - \frac{1}{2} ⩽ ε ⟺ \frac{2 n - 1}{4 n + 2} ⩽ ε ⟺ n ⩽ \frac{1 + 2 ε}{2 - 4 ε},$
où la dernière équivalence est vraie pour $ε < \frac{1}{2}$ . Donc il existe $ε > 0$ (par exemple, $ε = \frac{1}{4}$ ) où on ne peut pas trouver $N$ tel que $\forall n ⩾ N$ , on a $a_{n} - \frac{1}{2} ⩽ ε$ . Ceci veut dire que $a_{n} ↛ \frac{1}{2}$ .
Soit $a_{n} = \frac{1}{n}$ . On montre que $a_{n} \to 0$ . Soit $ε > 0$ . On veut exhiber un $N$ tel que $n ⩾ N \Rightarrow \frac{1}{n} - 0 < ε$ . Or
$\frac{1}{n} - 0 < ε ⟺ \frac{1}{n} < ε ⟺ n > \frac{1}{ε} ⟺ n > \frac{1}{ε ^{2}} .$
On choisit donc n’importe quel $N > \frac{1}{ε ^{2}}$ : il sera tel que tout $n ⩾ N$ satisfait $∣ a_{n} - 0∣ < ε$ .
Soit $a_{n} = \frac{2 n ^{2} - 1}{n ^{2} + 1}$ . On montre que $a_{n} \to 2$ .
Soit $ε > 0$ . On cherche $N$ tel que $∣ a_{n} - 2∣ ⩽ ε$ pour tout $n ⩾ N$ . On a
$∣ a_{n} - 2∣ = \frac{2 n ^{2} - 1}{n ^{2} + 1} - 2 = \frac{2 n ^{2} - 1}{n ^{2} + 1} - \frac{2 n ^{2} + 2}{n ^{2} + 1} = \frac{2 n ^{2} - 1 - 2 n ^{2} - 2}{n ^{2} + 1} = \frac{3}{n ^{2} + 1} .$
Donc $∣ a_{n} - 2∣ ⩽ ε ⟺ \frac{3}{n ^{2} + 1} ⩽ ε ⟺ n^{2} ⩾ \frac{3}{ε} - 1$ .
1. Si $ε ⩾ 3$ , $\frac{3}{ε} - 1 ⩽ 0$ et donc tout $n$ garantit $∣ a_{n} - 2∣ ⩽ ε$ .
2. Si $0 < ε < 3$ , on a $n^{2} ⩾ \frac{3}{ε} - 1 ⟺ n ⩾ \frac{3}{ε} - 1$ , car $n \in N^{*}$ , et on peut donc choisir n’importe quel $N ⩾ \frac{3}{ε} - 1$ pour que $∣ a_{n} - 2∣ ⩽ ε$ pour tout $n ⩾ N$ .

Une condition équivalente à

a_{n} \to L

est que tout

ε

-voisinage de

L

contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini. Ceci donne une façon utile de montrer qu’une suite ne converge pas: on montre que pour toute limite potentielle

L \in R

, il y a un

ε > 0

tellement petit que l’

ε

-voisinage exclut une infinité de termes de la suite.
Par exemple, la suite

a_{n} = (- 1)^{n}

n’admet pas de limite car pour n’importe quel candidat de limite

L

, une infinité de termes de la suite ne font pas partie de l’

ε

-voisinage de

L

pour

ε = \frac{1}{2}

Donc une suite réelle peut

converger, c’est-à-dire admettre une limite réelle $L$
diverger (c’est-à-dire ne pas converger)
- en tendant vers $- \infty$ ou $+ \infty$
- sans tendre vers $- \infty$ ou $+ \infty$ : par exemple $(- 1)^{n}$ , $n \cdot (- 1)^{n}$ , ...

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0)

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