Dans la sous-section précédente, on a défini une nouvelle variable en fonction de l’ancienne: $u=g(x)$.

On peut aussi exprimer l’ancienne variable en fonction d’une nouvelle: $x=\phi (t)$. Si $\phi$ est bijective (et donc inversible), alors $t={\phi }^{-1}(x)$, et donc si on trouve que

pour une certaine fonction $H$, on a alors

Plus généralement, si la fonction à intégrer contient

$a,b\in \mathbb{R}$ constantes, on peut essayer un changement de variable de la forme

Notons que pour la substitution $x=\frac{a}{b}\sin (t)$, il faut que $t\in \left[\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ pour que $\phi (t):=\sin (t)$ soit bijective.

Les prochains exemples utilisent les fonctions hyperboliques $\cosh (t)$ et $\sinh (t)$. De manière analogue aux fonctions trigonométriques $\cos (t)$ et $\sin (t)$ qui paramétrisent le cercle unité $x^2+y^2=1$, les fonctions hyperboliques donnent une paramétrisation $x=\cosh (t)$, $y=\sinh (t)$ de l’hyperbole unité $x^2-y^2=1$.

Exemple 1.3. $\int \sqrt{1+x^2}dx$, $x\in \mathbb{R}$.

De nouveau, si $1+x^2$ était un carré, $y^2$, ce serait plus facile à intégrer. On a l’identité $${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)=1,$$ et donc on peut poser $x=\sinh (t)$, $t\in \mathbb{R}$. Ainsi, $\sqrt{1+x^2}=\sqrt{1+{\sinh }^2(t)}=\sqrt{{\cosh }^2(t)}=\cosh (t)$, $dx=\cosh (t)dt$ et $t=\mathrm{argsinh}(x)$.

On a $$\begin{array}{rl}\int \sqrt{1+x^2}dx& =\int \cosh (t)\cdot \cosh (t)dt\\ & =\int {\cosh }^2(t)dt\\ & =\int {\left[\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right]}^{2}dt\\ & =\frac{1}{4}\int (e^{2t}+2+e^{-2t})dt\\ & =\frac{1}{4}(\frac{1}{2}{e}^{2t}+2t-\frac{1}{2}{e}^{-2t})+C\\ & =\frac{1}{4}\left(2t+\frac{e^{2t}-e^{-2t}}{2}\right)+C\\ & =\frac{1}{4}[2t+\sinh (2t)]+C\\ & =\frac{1}{4}[2t+2\sinh (t)\cdot \cosh (t)]+C\\ & =\frac{1}{4}\left[2\mathrm{argsinh}(x)+2x\sqrt{1+x^2}\right]+C.\end{array}$$

Plus généralement, si la fonction à intégrer contient

$a,b\in \mathbb{R}$ constantes, on peut essayer un changement de variable de la forme

Ce changement donnerait

Exemple 1.4. $\int \sqrt{x^2-1}dx$.

Ici, l’intégrande est définie pour $x\in ]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [$. Comme dans l’exemple précédent, on peut utiliser l’identité $${\cosh }^2(x)-{\sinh }^2(x)=1.$$ Si $x⩾1$:

On peut poser $x=\cosh (t),t⩾0$. Ainsi, $\sqrt{x^2-1}=\sqrt{{\cosh }^2(t)-1}=\sqrt{{\sinh }^2(t)}=|\sinh (t)|=\sinh (t)$ (car $t⩾0$), $dx=\sinh (t)dt$ et $t=\mathrm{argcosh}(x)$.

On a $$\begin{array}{rl}\int \sqrt{x^2-1}dx& =\int {\sinh }^2(t)dt\\ & =\cdots \\ & =-\frac{1}{2}\mathrm{argcosh}(x)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2-1}+C.\end{array}$$ Si $x⩽-1$:

On peut poser $x=-\cosh (t),t⩾0$. Ainsi, $\sqrt{x^2-1}=\sqrt{(-\cosh (t){)}^2-1}=\sqrt{{\sinh }^2(t)}=|\sinh (t)|=\sinh (t)$ (car $t⩾0$), $dx=-\sinh (t)dt$ et $t=\mathrm{argcosh}(-x)$.

On a $$\begin{array}{rl}\int \sqrt{x^2-1}dx& =\int -{\sinh }^2(t)dt\\ & =\cdots \\ & =\frac{1}{2}\mathrm{argcosh}(-x)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2-1}+C.\end{array}$$ En résumé, $$\int \sqrt{x^2-1}=\{\begin{array}{ll}\frac{1}{2}\mathrm{argcosh}(-x)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2-1}+C_1& \text{ si }x⩽-1\\ & \\ -\frac{1}{2}\mathrm{argcosh}(x)+\frac{1}{2}x\sqrt{x^2-1}+C_2& \text{ si }x⩾1.\end{array}$$ Attention: les constantes $C_1$ et $C_2$ peuvent être différentes.

Plus généralement, si la fonction à intégrer contient

$a,b\in \mathbb{R}$ constantes, l’intégrande est définie sur $\left]-\infty ,-\left|\frac{a}{b}\right|\right]\cup \left[\left|\frac{a}{b}\right|,+\infty \right[$. On peut essayer un changement de variable de la forme

en choisissant le signe selon les cas $x⩾\left|\frac{a}{b}\right|$ ou $x⩽-\left|\frac{a}{b}\right|$. Ce changement donnerait