Analyse B (MAN)

On dit qu’une suite tend vers l’infini si pour n’importe quel nombre $M$ , les termes de la suite deviennent plus grand que $M$ à partir d’un certain indice. Voici la définition formelle.

Une suite

(a_{n})

tend vers $+ \infty$ si pour tout $M > 0$ il existe $N_{0} \in N^{*}$ tel que $a_{n} ⩾ M$ pour tout $n ⩾ N_{0}$ . On écrit $lim_{n \to \infty} a_{n} = + \infty$ , ou $a_{n} \to + \infty$ .
tend vers $- \infty$ si pour tout $m < 0$ il existe $N_{0} \in N^{*}$ tel que $a_{n} ⩽ m$ pour tout $n ⩾ N_{0}$ . On écrit $lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty$ , ou $a_{n} \to - \infty$ .

On dit aussi que la suite diverge vers l’infini.

Il faut penser de $M$ comme un “seuil”. Une suite tendant vers $+ \infty$ va, au bout d’un moment, dépasser et rester au dessus de n’importe quel seuil. L’indice $N_{0}$ à partir duquel elle dépasse seuil dépend de la valeur de $M$ .

Une suite

(a_{n})

tend vers

- \infty

si pour tout

m < 0

il existe

N_{0} \in N^{*}

tel que

a_{n} ⩽ m

pour tout

n ⩾ N_{0}

. On écrit

lim_{n \to \infty} a_{n} = - \infty

, ou

a_{n} \to - \infty

Pour pouvoir facilement parler du comportement d’une suite lorsque l’indice $n$ devient de plus en plus grand, il est pratique d’introduire la terminologie suivante: étant donné $N_{0} \in N^{*}$ , l’ensemble ${n \in \bN : n ⩾ N_{0}}$ est appelé un voisinage de l’infini. La définition de tendre vers l’infini devient donc: $a_{n} \to \infty$ si pour tout $M > 0$ , il existe un voisinage de l’infini tel que $a_{n} ⩾ M$ pour des indices $n$ dans ce voisinage de l’infini.

${n \in N : n ⩾ 173}$ est un voisinage de l’infini.
${n \in N : (n - 7)^{2} > 4}$ contient un voisinage de l’infini.
${2 n : n \in N}$ ne contient pas un voisinage de l’infini.

Soit

a_{n} = \frac{n ^{2} - 1}{3 n}

. Montrons que

a_{n} \to \infty

.
Étant donné un

M > 0

, il nous faut montrer qu’il existe

N_{0}

tel que

a_{n} ⩾ M

pour tout

n ⩾ N_{0}

. On a

a_{n} ⩾ M ⟺ \frac{n ^{2} - 1}{3 n} ⩾ M ⟺ n^{2} - 1 ⩾ 3 M n ⟺ n^{2} - 3 M n - 1 ⩾ 0 ⟺ n \in] - \infty, \frac{3 M - 9 M ^{2} + 4}{2}] \cup [\frac{3 M + 9 M ^{2} + 4}{2}, \infty [.

Si on choisit

N_{0} \in [\frac{3 M + 9 M ^{2} + 4}{2}, \infty [

, on aura

a_{n} ⩾ M

pour tout

n ⩾ N_{0}

, par les équivalences au-dessus. On peut donc par exemple prendre

N_{0} = ⌈ \frac{3 M + 9 M ^{2} + 4}{2} ⌉,

le nombre réel

\frac{3 M + 9 M ^{2} + 4}{2}

arrondi vers le haut.

Soit

α > 0

a_{n} = α n

. On va montrer que

a_{n} \to \infty

.
Etant donné

M > 0

, il faut donner un

N_{0}

tel que

a_{n} > M

pour tout

n ⩾ N_{0}

. Or

α n > M \Leftrightarrow n > \frac{M}{α}

. On choisit donc n’importe quel entier

N_{0} > \frac{M}{α}

, il sera tel que

n ⩾ N_{0} \Rightarrow n > \frac{M}{α} \Rightarrow a_{n} > M .

Montrons que

a_{n} = n

tend vers l’infini.
Etant donné

M > 0

, il faut donner un

N_{0}

tel que

a_{n} > M

pour tout

n ⩾ N_{0}

. Or

n > M \Leftrightarrow n > M^{2} .

On choisit donc n’importe quel entier

N_{0} > M^{2}

, il sera tel que

n ⩾ N_{0} \Rightarrow a_{n} > M .

On a montré auparavant que

a_{n} = n

n’est pas majorée:

\forall M > 0 \exists N \in N^{*} tel que a_{N} > M .

Dans l’exemple ci-dessus, on vient de montrer que

a_{n} = n

tend vers l’infini:

\forall M > 0 \exists N \in N^{*} tel que n ⩾ N \Rightarrow a_{n} > M .

Ces deux affirmations ne sont bien sûr pas équivalentes: si une suite

a_{n}

tend vers l’infini, alors pour tout candidat majorant

M > 0

qu’on nous propose, il existe un seuil

N

à partir duquel tous les termes de la suite dépassent ce

M

. A plus forte raison, on peut exhiber un terme de la suite qui dépasse

M

, ce qui montre que la suite n’est pas majorée. La réciproque est fausse: par exemple, la suite

(- 2)^{n}

n’est pas majorée, mais elle ne tend pas vers l’infini: elle admet une infinité de termes négatifs.
Une suite non majorée ne tend donc pas nécessairement vers l’infini, mais ce sera le cas si une condition supplémentaire est vérifiée: si une suite

a_{n}

est croissante et non majorée, alors elle tend vers l’infini (ce résultat sera prouvé dans un exercice facultatif).

[Théorème du chien méchant] Soit

(a_{n})

une suite.

Si $(b_{n})$ est une autre suite telle que $a_{n} ⩾ b_{n}$ pour tout $n$ , et $b_{n} \to + \infty$ , alors $a_{n} \to + \infty$ .
Si $(c_{n})$ est une autre suite telle que $a_{n} ⩽ c_{n}$ pour tout $n$ , et $c_{n} \to - \infty$ , alors $a_{n} \to - \infty$ .

On démontre la première affirmation.
Supposons que

a_{n} ⩾ b_{n}

pour tout

n

, et que

b_{n} \to + \infty

.
Fixons

M > 0

. Comme

b_{n} \to + \infty

, on sait qu’il existe

N_{0}

tel que

b_{n} ⩾ M \forall n ⩾ N_{0} .

Puisque

a_{n} ⩾ b_{n}

, ceci implique donc

a_{n} ⩾ M \forall n ⩾ N_{0} .

On a donc montré que

a_{n} \to + \infty

Si la condition $a_{n} ⩾ b_{n}$ n’est vraie qu’à partir d’un certain indice, on a toujours la même conclusion. On a un théorème analogue dans le cas de $- \infty$ .

Reprenons l’exemple ci-dessus.
On a

a_{n} = \frac{n ^{2} - 1}{3 n} ⩾ \frac{n ^{2} - 3 n}{3 n} = \frac{n}{3} - 1 =: b_{n}

pour tout

n \in N^{*}

.
Or,

b_{n} \to \infty

(en effet: pour

M > 0

\frac{n}{3} - 1 ⩾ M ⟺ n ⩾ 3 M + 3

, donc en prenant un entier

N_{0} ⩾ 3 M + 3

, on a

b_{n} ⩾ M

pour tout

n ⩾ N_{0}

). Par le théorème du chien méchant, on a donc aussi

a_{n} \to \infty

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0)

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