Extrema de fonctions

On a déjà donné les définitions d’extrema, à savoir de maximum/minimum global/local dans une section précédente.

Remarque 1.1. Un extremum global est aussi un extremum local. Par contre, un extremum local n’est pas forcément global.

À titre d’illustration, voyons quelques cas “faciles” de fonctions pour lesquelles les extrema peuvent être trouvés sans difficulté.

Exemple 1.2. Soit

f : [0, 3] \to R

, définie par

f (x) = x^{2} - 2 x

Puisque

f (x) = (x - 1)^{2} - 1

, on peut représenter la parabole précisément, et en déduire que

f

possède:

un minimum global en $x = 1$ ,
un maximum global en $x = 3$ ,
un maximum local en $x = 0$ .

Exemple 1.3. Soit

f : R \to R

, définie par

f (x) = sin (x)

f

possède

une infinité de maximums globaux, en $\frac{π}{2} + 2 πk$ , $k \in Z$ ,
une infinité de minimums globaux, en $- \frac{π}{2} + 2 πk$ , $k \in Z$ .

Exemple 1.4. Soit

f : [0, 2] \to R

, définie par

f (x) = {1 - ∣ x - 1∣ - 1 si x \neq = 1, si x = 1 .

Alors

f

possède un minimum global en $x = 1$ ,
possède deux minimums locaux en $x = 0$ et en $x = 2$ ,
ne possède pas de maximum (ni local ni global).

Recherche analytique d’extrema

Comment peut-on trouver les extrema d’une fonction donnée, par des méthodes analytiques?

Avant de chercher des extrema, il faudrait déjà être sûr que la fonction en possède. Et rappelons que si la fonction est continue, et définie sur un intervalle fermé et borné, $f : [a, b] \to R$ , alors l’existence des extrema globaux est garantie, ce qui est un bon point de départ, même si on a besoin d’un algorithme plus précis qui mène à leur détermination.

Ensuite, on a aussi vu le résultat suivant: pour une fonction dérivable $f$ sur $] a, b [$ , si $f$ possède un minimum/maximum local en $x_{0} \in] a, b [$ , alors $f^{'} (x_{0}) = 0$ . On a aussi noté que sa réciproque n’est pas vraie.

Donc si $f^{'} (x_{0}) = 0$ , alors $x_{0}$ est un candidat à être un minimum/maximum local.

Mais si $f$ n’est pas dérivable en $x_{0}$ , $f$ peut y posséder un minimum/maximum local, ou pas:

Pour trouver les candidats à être extrema locaux il faut

trouver les points $x_{0}$ tels que $f^{'} (x_{0}) = 0$ ,
trouver les points où $f$ n’est pas dérivable,
regarder les points sur le bord du domaine, s’il y en a.

Ensuite on étudie la dérivée au voisinage du point, lorsque c’est possible, pour déterminer lesquels de ces candidats sont des extrema locaux.

Théorème 1.1. Soit $f$ continue en $x_{0}$ et dérivable dans un voisinage épointé de $x_{0}$ . Si $f^{'}$ change de signe en $x_{0}$ , alors $f$ possède un extremum local en $x_{0}$ .

Par “change de signe en $x_{0}$ ”, on veut dire qu’il existe $δ > 0$ tel que

$f^{'} (x) ⩾ 0$ pour tout $x \in [x_{0} - δ, x_{0} [$ et $f^{'} (x) ⩽ 0$ pour tout $x \in] x_{0}, x_{0} + δ]$ (dans ce cas, il y a un max local en $x_{0}$ ), ou
$f^{'} (x) ⩽ 0$ pour tout $x \in [x_{0} - δ, x_{0} [$ et $f^{'} (x) ⩾ 0$ pour tout $x \in] x_{0}, x_{0} + δ]$ (dans ce cas, il y a un min local en $x_{0}$ ).

Remarques 1.2.

Il faut vérifier la continuité de $f$ en $x_{0}$ ! Sinon, l’assertion du théorème pourrait être fausse. Par exemple, reprenons l’exemple précédent $f : [0, 2] \to R, f (x) = {1 - ∣ x - 1∣ - 1 si x \neq = 1, si x = 1.$ $f$ n’est pas continue en $x_{0} = 1$ , et malgré le changement de signe de $f^{'}$ en $x_{0}$ , il n’y a pas de max en $x_{0}$ .
La réciproque du théorème est fausse: si $f$ possède un extremum local en $x_{0}$ , $f^{'}$ ne change pas forcément de signe en $x_{0}$ .

Pour les extrema globaux, en vu du fait que les extrema globaux sont aussi des extrema locaux, il faut juste évaluer la fonction aux points qu’on a trouvés ci-dessus comme extrema locaux, et trouver parmi eux les plus grandes et les plus petites valeurs.

Rappel: une fonction continue atteint ses bornes sur un intervalle fermé.

Exemples 1.3.

$f : R \to R$ , $f (x) = x^{3} - x$ . $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 1$ et donc $f^{'} (x) = 0 ⟺ x = \frac{\pm 1}{3}$ .
Il n’y a pas d’extrema globaux.
$f : [- π, π] \to R$ , $f (x) = sin ∣ x ∣$ .On a $f (x) = {sin (x) sin (- x) si 0 ⩽ x ⩽ π si - π ⩽ x < 0,$ et donc, puisque $sin (- x) = - sin (x)$ , $f^{'} (x) = {cos (x) - cos (x) si 0 < x < π si - π < x < 0.$ En $0$ , on a $f_{+}^{'} (0) f_{-}^{'} (0) = x \to 0^{+} lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = x \to 0^{+} lim \frac{sin ( x )}{x} = 1, = x \to 0^{-} lim \frac{f ( x ) - f ( 0 )}{x - 0} = x \to 0^{-} lim \frac{- sin ( x )}{x} = - 1,$ et donc $f$ n’est pas dérivable en $0$ .Les candidats sont
- $x = \pm \frac{π}{2}$ ( $⟺ f^{'} (x) = 0$ ),
- $x = 0$ , où $f$ n’est pas dérivable,
- $x = \pm π$ , les points du bord.
Ici, les extrema locaux sont aussi globaux.

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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