Théorème fondamental de l'analyse (1)

Théorème fondamental de l’analyse (1)

Définition 1.1. Soit

f : [a, b] \to R

, continue ou possédant un nombre fini de discontinuités. Pour tout

x \in [a, b]

, on définit la fonction “aire” par

A (x) := \int_{a}^{x} f (t) d t .

On remarque que

$A (a) = 0$ ,
$A (b) = \int_{a}^{b} f (x) d x$ (l’intégrale qu’on aimerait calculer).

Voyons deux exemples où la fonction aire se calcule facilement:

Exemples 1.2.

Si $f (x) = C$ $\forall x \in [a, b]$ (une fonction constante), alors $A (x) = \int_{a}^{x} C d t = C (x - a) .$
Si $f (x) = m x + h$ $\forall x \in [a, b]$ , alors $A (x) = \int_{a}^{x} (m t + h) d t = \frac{f ( a ) + f ( x )}{2} \cdot (x - a) (aire de trap \overset{e}{ˋ} ze) = \frac{( ma + h ) + ( m x + h )}{2} \cdot (x - a) = (\frac{1}{2} m x^{2} + h x) - (\frac{1}{2} m a^{2} + ha) .$

On a vu dans ces deux exemples que la fonction aire était dérivable et que de plus $A^{'} (x) = f (x)$ . Cette propriété est vraie en général:

Théorème 1.3. (Théorème Fondamental de l’Analyse, 1ère partie) Soit $f : [a, b] \to R$ continue, et soit $A : [a, b] \to R$ la fonction aire associée. Alors $A (x)$ est dérivable sur $] a, b [$ et $A^{'} (x) = f (x) \forall x \in] a, b [.$

On doit montrer que pour tout

x \in] a, b [

h \to 0 lim \frac{A ( x + h ) - A ( x )}{h} = f (x) .

Soit donc

x \in] a, b [

, et soit

h > 0

Par la relation de Chasles, on a

A (x + h) = = A (x) \int_{a}^{x} f (t) d t + \int_{x}^{x + h} f (t) d t .

Alors il découle que

\frac{A ( x + h ) - A ( x )}{h} = \frac{1}{h} \int_{x}^{x + h} f (t) d t .

Par le Théorème de la moyenne, il existe

c_{h} \in] x, x + h [

tel que

\int_{x}^{x + h} f (t) d t = f (c_{h}) \cdot [(x + h) - x] = h f (c_{h}) .

L’expression du dessus devient donc

\frac{A ( x + h ) - A ( x )}{h} = f (c_{h}) .

Lorsque

h \to 0^{+}

, on a

c_{h} \to x^{+}

, et donc

h \to 0^{+} lim \frac{A ( x + h ) - A ( x )}{h} = h \to 0^{+} lim f (c_{h}) = c \to x^{+} lim f (c) = f (x) .

La dernière égalité découle du fait que

f

est une fonction continue. L’affirmation dans le cas

h \to 0^{-}

se montre de manière analogue, et on a donc

lim_{h \to 0} \frac{A ( x + h ) - A ( x )}{h} = f (x)

, pour tout

x \in] a, b [

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Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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