Parité

Définition 1.1.

$f$ est dite paire si $f (- x) = f (x)$ $\forall x \in D_{f}$ .
$f$ est dite impaire si $f (- x) = - f (x)$ $\forall x \in D_{f}$ .

Graphiquement, une fonction est paire si son graphe possède l’axe $O y$ comme axe de symétrie. Une fonction est impaire si son graphe a l’origine comme centre de symétrie (par un angle de $18 0^{\circ}$ ).

Exemples 1.2.

Exemples de fonctions paires: $x^{2}, ∣ x ∣, cos (x)$ .
Exemples de fonctions impaires: $x, x^{3}, sgn (x), sin (x)$ .
Plus généralement, $x^{p}$ est paire si $p \in Z$ est pair, et impaire si $p \in Z$ est impair.
$f (x) = x - 1$ n’est ni paire ni impaire, par ex. $f (- 1) = - 1 - 1 = - 2$ et $f (1) = 1 - 1 = 0$ , donc $f (- 1) \neq = f (1)$ et $f (- 1) \neq = - f (- 1)$ .

On remarque que pour montrer qu’une fonction $f$ n’est pas paire, il suffit de trouver un $x_{0}$ tel que $f (- x_{0}) \neq = f (x_{0})$ . De manière analogue, pour montrer qu’une fonction $f$ n’est pas impaire, il suffit de trouver un $x_{0}$ tel que $f (- x_{0}) \neq = - f (x_{0})$ .

On n’a pas besoin de connaître le graphe de la fonction pour vérifier qu’elle est paire ou impaire: on peut le faire algébriquement.

Exemple 1.3. La fonction définie par

cosh (x) := \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}, x \in R

est paire, puisque

cosh (- x) = \frac{e ^{- x} + e ^{- (- x)}}{2} = \frac{e ^{- x} + e ^{x}}{2} = cosh (x) .

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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