Fonction dérivée et règles de dérivation

Définition 1.1. Si

f

est définie sur un intervalle ouvert

I

f

est dite dérivable sur $I$ si

f

est dérivable en tout point de

I

. On définit alors la fonction

f^{'} (x) := h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h},

appelée la dérivée de $f$ sur $I$ .

Notation équivalente: $f^{'}$ , $\frac{df}{d x}$ (notation de Leibniz).

Exemple 1.2. Représentons une fonction

f

et sa dérivée

f^{'}

Au point $A$ , la fonction $f$ arrête de croître et commence à décroître. La dérivée $f^{'}$ est donc $> 0$ avant $A$ et $< 0$ après.
Au point $B$ , $f$ décroît le plus rapidement et donc la dérivée y a un minimum.
Au point $C$ , $f$ arrête de décroître et commence à croître. La dérivée passe donc de $< 0$ à $> 0$ .
Au point $D$ , $f$ croît le plus rapidement. $f^{'}$ y a donc un maximum.
Au point $E$ , la fonction $f$ n’est pas dérivable, et la fonction $f^{'}$ n’est donc pas définie en ce point.
Au point $F$ , $f$ n’est pas dérivable et la tangente y est verticale. $f^{'}$ tend vers $+ \infty$ .

Règles de dérivation

Théorème 1.1. Soient $f$ et $g$ dérivables sur $I$ . Pour tout $x \in I$ ,
$(f + g)^{'} (x) = f^{'} (x) + g^{'} (x)$ ,
$(λ f)^{'} (x) = λ f^{'} (x)$ , $λ \in R$ ,
$(f \cdot g)^{'} (x) = f^{'} (x) \cdot g (x) + f (x) \cdot g^{'} (x)$ ,
Si $g (x) \neq = 0$ , $(\frac{f}{g})^{'} (x) = \frac{f ^{'} ( x ) g ( x ) - f ( x ) g ^{'} ( x )}{g ^{2} ( x )}$
Si $f$ est dérivable en $x$ et $g$ et dérivable en $f (x)$ , on a aussi $(g \circ f)^{'} (x) = g^{'} (f (x)) \cdot f^{'} (x) .$

$(f + g)^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{( f + g ) ( x + h ) - ( f + g ) ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) + g ( x + h ) - f ( x ) - g ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} + h \to 0 lim \frac{g ( x + h ) - g ( x )}{h} = f^{'} (x) + g^{'} (x) .$
$(λ f)^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{( λ f ) ( x + h ) - ( λ f ) ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{λ f ( x + h ) - λ f ( x )}{h} = λ h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = λ f^{'} (x) .$ (Cette propriété peut aussi être vue comme une conséquence de la suivante, où une des fonctions est prise comme étant constante.)
Par définition, $(f \cdot g)^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{( f \cdot g ) ( x + h ) - ( f \cdot g ) ( x )}{h} .$ Récrivons le quotient comme suit: $\frac{( f \cdot g ) ( x + h ) - ( f \cdot g ) ( x )}{h} = \frac{f ( x + h ) g ( x + h ) - f ( x ) g ( x )}{h} = \frac{f ( x + h ) g ( x + h ) - f ( x ) g ( x + h ) + f ( x ) g ( x + h ) - f ( x ) g ( x )}{h} = \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} \cdot g (x + h) + f (x) \cdot \frac{g ( x + h ) - g ( x )}{h}$ Dans cette dernier ligne, les quotients convergent respectivement vers $f^{'} (x)$ et $g^{'} (x)$ . Puis, comme $g$ est dérivable, elle est continue en $x$ , et donc $h \to 0 lim g (x + h) = g (x) .$ Ceci implique que $h \to 0 lim \frac{( f \cdot g ) ( x + h ) - ( f \cdot g ) ( x )}{h} = f^{'} (x) g (x) + f (x) g^{'} (x) .$
En procédant comme dans le point précédent, $(\frac{f}{g})^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{\frac{f ( x + h )}{g ( x + h )} - \frac{f ( x )}{g ( x )}}{h} = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ( x + h )}{h \cdot g ( x + h ) \cdot g ( x )} = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ( x ) + f ( x ) \cdot g ( x ) - f ( x ) \cdot g ( x + h )}{h \cdot g ( x + h ) \cdot g ( x )} = \frac{1}{g ( x )} h \to 0 lim \frac{1}{g ( x + h )} \cdot h \to 0 lim [g (x) \cdot \frac{( f ( x + h ) - f ( x ))}{h} - f (x) \cdot \frac{( g ( x + h ) - g ( x ))}{h}] = \frac{1}{g ( x )} \cdot \frac{1}{g ( x )} \cdot (g (x) \cdot f^{'} (x) - f (x) \cdot g^{'} (x)) = \frac{g ( x ) \cdot f ^{'} ( x ) - f ( x ) \cdot g ^{'} ( x )}{g ^{2} ( x )} .$

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Dérivées de puissances

Voici quelques exemples de dérivées des fonctions élémentaires.

Remarquons pour commencer que si une fonction $f$ est constante, $f (x) = C$ pour tout $x$ , alors sa dérivée est nulle puisque

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = h \to 0 lim \frac{C - C}{h} = 0 .

Théorème 1.1. Soit $n \in Z$ . Alors $(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}$ (Si $n$ est négatif, $x^{n}$ n’est bien sûr pas définie en $x_{0} = 0$ .)

Commençons par les exposants entiers positifs,

x \in N^{*}

. On procède par récurrence sur

n

.
Lorsque

n = 1

f (x) = x^{1}

, et donc

(x^{1})^{'} = h \to 0 lim \frac{( x + h ) ^{1} - x ^{1}}{h} = h \to 0 lim \frac{( x + h ) - x}{h} = h \to 0 lim \frac{h}{h} = 1 .

Puisqu’on peut écrire cette dernière comme

(x^{1})^{'} = 1 \cdot x^{1 - 1}

, on a démontré le résultat pour

n = 1

.
Supposons que pour un certain

n \in N^{*}

(x^{n})^{'} = n x^{n - 1}

. Pour

n + 1

, on peut écrire

x^{n + 1} = x^{n} \cdot x

, et utiliser la règle de dérivation d’un produit:

(x^{n + 1})^{'} = (x^{n} \cdot x)^{'} = (x^{n})^{'} \cdot x + x^{n} \cdot (x)^{'} = n x^{n - 1} \cdot x + x^{n} \cdot 1 = n x^{n} + x^{n} = (n + 1) x^{n} = (n + 1) x^{(n + 1) - 1} .

Donc la formule est aussi vraie pour

n + 1

.
Si on considère maintenant

n \in Z

n < 0

, alors

m = - n \in N^{*}

, et donc par la règle de dérivation d’un quotient,

(x^{n})^{'} = (x^{- m})^{'} = (\frac{1}{x ^{m}})^{'} = \frac{- ( x ^{m} ) ^{'}}{( x ^{m} ) ^{2}} = \frac{- m x ^{m - 1}}{x ^{2 m}} = (- m) x^{- m - 1} = n x^{n - 1} .

□

Exemple 1.2.

(x^{1234})^{'} = 1234 \cdot x^{1233}

Considérons une puissance non-entière, comme $\frac{1}{2}$ :

Exemple 1.3. Si

x > 0

(x)^{'} = h \to 0 lim \frac{x + h - x}{h} = h \to 0 lim \frac{1}{x + h + x} = \frac{1}{x + x} = \frac{1}{2 x} .

Remarquons qu’avec un exposant,

x = x^{1/2}

, cette dernière prend la forme

(x^{1/2})^{'} = \frac{1}{2} x^{\frac{12}{-} 1} .

La dernière remarque suggère que la formule donnée dans le théorème précédent est aussi valable pour des exposants rationnels.

Théorème 1.4. Soient $p \in Z$ , $q \in Z^{*}$ . Alors $(x^{\frac{p}{q}})^{'} = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q} - 1}, x > 0$

Commençons par le cas

p = 1

q \in N^{*}

. On a

(x^{\frac{1}{q}})^{'} = x \to x lim \frac{x ^{1/ q} - x ^{1/ q}}{x - x} .

Effectuons le changement de variable

x^{1/ q} = y

x^{1/ q} = y

x \to x lim \frac{x ^{1/ q} - x ^{1/ q}}{x - x} = y \to y lim \frac{y - y}{y ^{q} - y ^{q}} = y \to y lim \frac{1}{\frac{y ^{q} - y ^{q}}{y - y}} = \frac{1}{lim _{y \to y} \frac{y ^{q} - y ^{q}}{y - y}} = \frac{1}{q y ^{q - 1}} = \frac{1}{q ( x ^{1/ q} ) ^{q - 1}} = \frac{1}{q} x^{\frac{1}{q} - 1}

Maintenant, pour une valeur quelconque

p \in N^{*}

, par la règle de dérivation d’une composée,

(x^{\frac{p}{q}})^{'} = ((x^{1/ q})^{p})^{'} = p (x^{1/ q})^{p - 1} (x^{1/ q})^{'} = p (x^{1/ q})^{p - 1} \frac{1}{q} x^{1/ q - 1} = \frac{p}{q} x^{\frac{p}{q} - 1} .

□

Dérivées des fonctions trigonométriques

Théorème 1.1. Pour tout $x \in R$ , $(sin (x))^{'} (cos (x))^{'} = cos (x) = - sin (x) .$ Pour tout $x \in R ∖ {\frac{π}{2} + kπ, k \in Z}$ , $(tan (x))^{'} = {1 + tan^{2} (x) ou \frac{1}{c o s ^{2} ( x )} .$

Par définition,

(sin (x))^{'} = h \to 0 lim \frac{sin ( x + h ) - sin ( x )}{h}

On utilise la relation (voir Analyse A)

sin (x + h) = sin (x) cos (h) + cos (x) sin (h) .

Après avoir réarrangé les termes, le quotient devient

\frac{sin ( x + h ) - sin ( x )}{h} = sin (x) \cdot \frac{cos ( h ) - 1}{h} + cos (x) \cdot \frac{sin ( h )}{h} .

Or on a d’une part que

1 - cos (h) \sim h^{2} /2

au voisinage de

h = 0

, donc

h \to 0 lim \frac{cos ( h ) - 1}{h} = h \to 0 lim \frac{- h ^{2} /2}{h} = 0,

et d’autre part on sait que

h \to 0 lim \frac{sin ( h )}{h} = 1 .

Ceci implique que

h \to 0 lim \frac{sin ( x + h ) - sin ( x )}{h} = cos (x) .

En utilisant ensuite les relations

sin (x + \frac{π}{2}) cos (x + \frac{π}{2}) = cos (x), = - sin (x),

on peut utiliser la formule pour la dérivée d’une composée comme suit:

(cos (x))^{'} = (sin (x + \frac{π}{2}))^{'} = cos (x + \frac{π}{2}) \cdot = 1 (x + \frac{π}{2})^{'} = - sin (x) .

Finalement, par la règle de dérivation d’un quotient,

(tan (x))^{'} = (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{'} = \frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )},

que l’on peut simplifier avec

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

, ou alors séparer en

\frac{cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} = \frac{cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 1 + tan^{2} (x)

□

Exemple 1.2.

(sin (x))^{'} = \frac{1}{2 sin ( x )} \cdot (sin (x))^{'} = \frac{cos ( x )}{2 sin ( x )} .

Dérivées exponentielles et logarithmes

Théorème 1.1. Pour tout $x \in R$ , $(e^{x})^{'} = e^{x} .$ Pour tout $x \in R_{+}^{*}$ , $(ln (x))^{'}) = \frac{1}{x} .$

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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