On pensera souvent à une courbe paramétrée comme à la description de la position d’une particule en fonction du temps; on interprétera alors $M(t)\in {\mathbb{R}}^2$ comme étant la position de la particule au temps $t$.

La position $M(t)$ peut également se décrire à l’aide du rayon vecteur, défini par

L’ensemble de tous les points visités par la particule sera noté

On appelle $\Gamma$ le tracé de la courbe.

Exemple 1.2. La courbe paramétrée $$\begin{array}{rl}M:[0,2\pi ]& ⟶{\mathbb{R}}^2\\ t& ⟼M(t)=\left(\cos (t),\sin (t)\right)\end{array}$$ décrit un point se déplaçant sur le cercle unité centré à l’origine.

Remarquons que deux courbes paramétrées distinctes peuvent avoir le même tracé.

Exemple 1.3. La courbe $$\begin{array}{rl}\tilde{M}:[-\pi ,\pi ]& ⟶{\mathbb{R}}^2\\ t& ⟼\tilde{M}(t)=\left(\sin (t),\cos (t)\right)\end{array}$$ est n’est pas la même que celle de l’exemple précédent; par exemple, $M(0)=(0,0)$ alors que $\tilde{M}(0)=(0,1)$. Pourtant, son tracé est le même:

On voit sur ces deux premiers exemples qu’en général, le tracé d’une courbe paramétrée n’est pas le graphe d’une fonction (il peut y avoir une droite verticale qui intersecte le tracé plus qu’une fois).

Exemple 1.4. $$\begin{array}{rl}M:\mathbb{R}& ⟶{\mathbb{R}}^2\\ t& ⟼M(t)=\left(t^2,t\right)\end{array}$$

Exemple 1.5. $$\begin{array}{rl}M:[0,2]& ⟶{\mathbb{R}}^2\\ t& ⟼M(t)=\left(t(t-1)(t-2),t(t-\frac{1}{2})(t-1)(t-\frac{3}{2})(t-2)\right)\end{array}$$

L’étude des courbes paramétrées s’annonce donc plus dificile que celle des simples fonctions $f(x)$ d’une variable.