Étant donné une fonction $f:[a,b]\to \mathbb{R}$, comment calculer l’aire de la surface de révolution engendrée par la rotation du graphe de $f$ autour de l’axe $Ox$ ?

Pour commencer, considérons le cas simple où le graphe de $f$ est un segment de longueur $\ell$. On appelle bracelet la surface obtenue par la rotation de ce segment autour de $Ox$:

On remarque que $\frac{r_1+r_2}{2}$ représente la distance qui sépare le milieu du segment à $Ox$.

Preuve

Remarquons que l’aire du bracelet peut être vue comme la différence des aires de deux cônes de bases circulaires, le grand dont le rayon de la base est égal à $r_2$, le petit dont le rayon de la base est $r_1$:

Il s’agit donc de pouvoir calculer l’aire de la surface latérale d’un cône, ce que l’on fait en le coupant et le déployant:

On a $\theta \cdot L=2\pi r$, et donc $\theta =\frac{2\pi r}{L}$. L’aire de surface du cône est l’aire du secteur de rayon $L$ et d’angle $\theta$, qui est donnée par
$$\frac{1}{2}\theta L^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{2\pi r}{L}\cdot L^2=\pi rL.$$
On a $$\frac{L_1}{r_1}=\frac{L_2}{r_2}=\frac{\ell }{r_2-r_1}⟹L_1=\frac{r_1\ell }{r_2-r_1},L_2=\frac{r_2\ell }{r_2-r_1}.$$ Donc l’aire du bracelet est égale à $$\begin{array}{rl}\pi r_2{L}_2-\pi r_1{L}_1=& \pi \frac{r_2^2\ell }{r_2-r_1}-\pi \frac{r_1^2\ell }{r_2-r_1}\\ =& \pi (r_2+r_1)\ell \\ =& 2\pi \frac{r_1+r_2}{2}\ell .\end{array}$$

$\square$

Ayant trouvé l’aire de surface du bracelet, on peut maintenant trouver l’aire d’une surface de révolution.

On prend une partition $\{x_0,x_1,x_2,\dots ,x_n\}$ de l’intervalle $[a,b]$ et on approxime la fonction $f$ par une fonction linéaire par morceaux en prenant sur chaque intervalle $[x_{i-1},x_i]$ le segment de droite reliant les points $(x_{i-1},f(x_{i-1}))$ et $(x_i,f(x_i))$. Soit $L_i$ la longueur de ce segment.

Ainsi, l’aire $S$ de la surface de révolution est approximée par

où $S_i$ est l’aire de surface du bracelet obtenu en tournant le $i$-ième segment. En utilisant le lemme précédent, on a

Lorsque $n$ est grand,

Ainsi, dans la limite $n\to \infty$, la somme tend vers l’intégrale

Quel que soit l’axe de révolution, on peut trouver l’aire de surface de révolution de la manière suivante:

où $r$ est la distance à l’axe de rotation et $dS=2\pi rd\ell$ est le changement infinitésimal d’aire de surface.

Exemple 1.1. Calculons l’aire de surface $S$ du paraboloïde formé par la rotation de la courbe $y=\sqrt{x}$ autour l’axe $Ox$, pour $x\in [1,2]$.

On a $$\begin{array}{rl}S& ={\int }_1^{2}2\pi \sqrt{x}\sqrt{1+{\left(\frac{1}{2\sqrt{x}}\right)}^2}dx\\ & =\pi {\int }_1^2\sqrt{4x+1}dx\\ & =\pi {\left[\frac{1}{6}(4x+1{)}^{\frac{3}{2}}\right]|}_1^2\\ & =\frac{\pi }{6}\left(9^{\frac{3}{2}}-5^{\frac{3}{2}}\right).\end{array}$$

Soit maintenant

une courbe paramétrée, telle que les fonctions $x(t)$ et $y(t)$ sont dérivables et dont les dérivées sont continues. De manière analogue au cas d’une fonction standard, on prend une partition $\{t_0,t_1,\dots t_n\}$ de l’intervalle $[\alpha ,\beta ]$ et on approxime la courbe en prenant sur chaque intervalle $[t_{i-1},t_i]$ le segment de droite entre les points $M(t_{i-1})$ et $M(t_i)$. Soit $L_i$ la longueur de ce segment.

Ainsi, l’aire de la surface de révolution $S$ est approximée par

où $S_i$ est l’aire de surface du $i$-ième bracelet. On a

En prenant la limite $n\to \infty$, la somme tend vers l’intégrale

On remarque qu’en prenant le vecteur tangent

la formule ci-dessus devient

On remarque qu’en faisant la rotation autour de l’axe $Oy$, les rôles de $x(t)$ et $y(t)$ seront inversés.