Suites majorées, minorées, monotones

Définitions 1.1. Soit

(a_{n})

une suite.

$(a_{n})$ est majorée (ou bornée supérieurement) s’il existe $M \in R$ tel que $a_{n} ⩽ M$ pour tout $n \in N^{*}$ . Un tel $M$ est appelé majorant (ou borne supérieure) de $(a_{n})$ .
$(a_{n})$ est minorée (ou bornée inférieurement) s’il existe $m \in R$ tel que $a_{n} ⩾ m$ pour tout $n \in N^{*}$ . Un tel $m$ est appelé minorant (ou borne inférieure) de $(a_{n})$ .
$(a_{n})$ est bornée si elle est majorée et minorée.

Remarques 1.2.

$(a_{n})$ est bornée si et seulement s’il existe $C > 0$ tel que $∣ a_{n} ∣ ⩽ C$ pour tout $n \in N^{*}$ .
Une suite majorée $(a_{n})$ possède plusieurs majorants: si $M$ est un majorant, alors tout $N ⩾ M$ est aussi un majorant. Si on voulait montrer qu’une suite est majorée, n’importe quel majorant suffit. La remarque analogue et aussi vraie pour le minorant.

Exemples 1.3.

La suite $a_{n} = \frac{1}{n}$ est minorée car $a_{n} ⩾ 0$ pour tout $n$ , et majorée car $a_{n} ⩽ 1$ pour tout $n$ . Cette suite est donc bornée.
La suite $a_{n} = n^{2}$ est minorée car $a_{n} ⩾ 0$ pour tout $n$ . Par contre, $(a_{n})$ n’est pas majorée car il n’existe pas $M$ tel que $n^{2} ⩽ M$ pour tout $n$ .
Si $M \in R$ était un majorant, on aurait $n^{2} ⩽ M$ $\forall n$ . Mais en prenant $n > ∣ M ∣$ , on a $n^{2} > ∣ M ∣ ⩾ M$ et donc $M$ ne peut pas être un majorant de $(a_{n})$ .
$□$
La suite $a_{n} = - n$ est majorée car $a_{n} ⩽ 0$ pour tout $n$ . Par contre, $(a_{n})$ n’est pas minorée: il n’existe pas $m$ tel que $- n ⩾ m$ pour tout $n$ .
$a_{n} = (- 1)^{n}$ est bornée. En effet, $∣ a_{n} ∣ = 1$ , et donc en particulier $- 1 ⩽ a_{n} ⩽ 1$ pour tout $n$ .
$a_{n} = (- 1)^{n} \cdot \frac{n - 1}{n}$ est bornée. En effet, pour tout $n ⩾ 1$ , $∣ a_{n} ∣ = \frac{n - 1}{n} = 1 - \frac{1}{n} = 1 - \frac{1}{n} < 1 .$
$a_{n} = n \cdot (- 1)^{n}$ n’est ni majorée ni minorée.
$a_{n} = \frac{2 n - 1}{2 n + 1}$ est bornée: $0 ⩽ \frac{2 n - 1}{2 n + 1} ⩽ \frac{2 n}{2 n} = 1$ pour tout $n ⩾ 1$ .
$a_{n} = \frac{6 n + 100}{n + 10}$ est minorée. En effet, pour tout $n ⩾ 1$ , $\frac{6 n + 100}{n + 10} ⩾ \frac{6 n}{n + 10} ⩾ \frac{6 n}{11 n} = \frac{6}{11} .$ (Dans la deuxième inégalité, on a utilisé le fait que $10 ⩽ 10 n$ .) On obtient un minorant un peu meilleur en faisant $\frac{6 n + 100}{n + 10} ⩾ \frac{6 n + 60}{n + 10} = \frac{6 ( n + 10 )}{n + 10} = 6 .$
$a_{n} = n$ ( $n ⩾ 0$ ) est clairement minorée par $0$ , mais n’est pas majorée. En effet, pour $M > 0$ donné, soit $A$ le plus petit entier plus grand ou égal à $M$ . Alors $a_{A^{2} + 1} = A^{2} + 1 > A^{2} = A ⩾ M .$

Remarque 1.4. Pour majorer un quotient

\frac{A}{B}

où

A, B > 0

, on peut chercher

A^{'}

B^{'}

tels que

A^{'} ⩾ A

0 < B^{'} ⩽ B

, puis écrire

\frac{A}{B} ⩽ \frac{A ^{'}}{B ^{'}} .

Monotonicité

Définitions 1.1. Soit

(a_{n})

une suite.

$(a_{n})$ est croissante si $a_{n} ⩽ a_{n + 1}$ pour tout $n \in N^{*}$ .
$(a_{n})$ est strictement croissante si $a_{n} < a_{n + 1}$ pour tout $n \in N^{*}$ .
$(a_{n})$ est décroissante si $a_{n} ⩾ a_{n + 1}$ pour tout $n \in N^{*}$ .
$(a_{n})$ est strictement décroissante si $a_{n} > a_{n + 1}$ pour tout $n \in N^{*}$ .
$(a_{n})$ est monotone si elle est croissante ou décroissante.
$(a_{n})$ est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Exemples 1.2.

$a_{n} = \frac{1}{n}$ est strictement décroissante car $a_{n} = \frac{1}{n} > \frac{1}{n + 1} = a_{n + 1}$ pour tout $n$ .
$a_{n} = n^{2}$ est strictement croissante car $a_{n} = n^{2} < (n + 1)^{2} = a_{n + 1}$ .
$a_{n} = n$ est croissante.
$a_{n} = (- 1)^{n}$ n’est ni croissante, ni décroissante.
$a_{n} = (- 1)^{n} \cdot \frac{n - 1}{n}$ n’est ni croissante ni décroissante: $a_{2} > a_{1}$ mais $a_{3} < a_{2}$ .
$a_{n} = \frac{3 n + 4}{n + 1}$ est strictement décroissante.
$a_{n} - a_{n + 1} = \frac{3 n + 4}{n + 1} - \frac{3 ( n + 1 ) + 4}{( n + 1 ) + 1} = \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} > 0,$ donc $a_{n} > a_{n + 1}$ .
$□$
Soit $(α_{n})$ une suite telle que $α_{n} ⩾ 0$ pour tout $n$ . Alors la suite $(a_{n})$ définie par $a_{n} = α_{1} + α_{2} + \dots + α_{n}$ est croissante, puisque $a_{n + 1} - a_{n} = α_{n + 1} ⩾ 0$ .

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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