$(a_n)$ est majorée (ou bornée supérieurement) s’il existe $M\in \mathbb{R}$ tel que $a_n⩽M$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Un tel $M$ est appelé majorant (ou borne supérieure) de $(a_n)$.

$(a_n)$ est minorée (ou bornée inférieurement) s’il existe $m\in \mathbb{R}$ tel que $a_n⩾m$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Un tel $m$ est appelé minorant (ou borne inférieure) de $(a_n)$.

$(a_n)$ est bornée si elle est majorée et minorée.

$(a_n)$ est bornée si et seulement s’il existe $C>0$ tel que $|a_n|⩽C$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Une suite majorée $(a_n)$ possède plusieurs majorants: si $M$ est un majorant, alors tout $N⩾M$ est aussi un majorant. Si on voulait montrer qu’une suite est majorée, n’importe quel majorant suffit. La remarque analogue et aussi vraie pour le minorant.

La suite $a_n=\frac{1}{n}$ est minorée car $a_n⩾0$ pour tout $n$, et majorée car $a_n⩽1$ pour tout $n$. Cette suite est donc bornée.

La suite $a_n=n^2$ est minorée car $a_n⩾0$ pour tout $n$. Par contre, $(a_n)$ n’est pas majorée car il n’existe pas $M$ tel que $n^2⩽M$ pour tout $n$. Si $M\in \mathbb{R}$ était un majorant, on aurait $n^2⩽M$ $\forall n$. Mais en prenant $n>\sqrt{|M|}$, on a $n^2>|M|⩾M$ et donc $M$ ne peut pas être un majorant de $(a_n)$.

La suite $a_n=-n$ est majorée car $a_n⩽0$ pour tout $n$. Par contre, $(a_n)$ n’est pas minorée: il n’existe pas $m$ tel que $-n⩾m$ pour tout $n$.

$a_n=(-1{)}^n$ est bornée. En effet, $|a_n|=1$, et donc en particulier $-1⩽a_n⩽1$ pour tout $n$.

$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{n-1}{n}$ est bornée. En effet, pour tout $n⩾1$,

$a_n=n\cdot (-1{)}^n$ n’est ni majorée ni minorée.

$a_n=\frac{2n-1}{2n+1}$ est bornée: $0⩽\frac{2n-1}{2n+1}⩽\frac{2n}{2n}=1$ pour tout $n⩾1$.

$a_n=\frac{6n+100}{n+10}$ est minorée. En effet, pour tout $n⩾1$,

(Dans la deuxième inégalité, on a utilisé le fait que $10⩽10n$.) On obtient un minorant un peu meilleur en faisant

$a_n=\sqrt{n}$ ($n⩾0$) est clairement minorée par $0$, mais n’est pas majorée. En effet, pour $M>0$ donné, soit $A$ le plus petit entier plus grand ou égal à $M$. Alors

$(a_n)$ est croissante si $a_n⩽a_{n+1}$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

$(a_n)$ est strictement croissante si $a_n<a_{n+1}$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

$(a_n)$ est décroissante si $a_n⩾a_{n+1}$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

$(a_n)$ est strictement décroissante si $a_n>a_{n+1}$ pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

$(a_n)$ est monotone si elle est croissante ou décroissante.

$(a_n)$ est strictement monotone si elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

$a_n=\frac{1}{n}$ est strictement décroissante car $a_n=\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}=a_{n+1}$ pour tout $n$.

$a_n=n^2$ est strictement croissante car $a_n=n^2<(n+1{)}^2=a_{n+1}$.

$a_n=\sqrt{n}$ est croissante.

$a_n=(-1{)}^n$ n’est ni croissante, ni décroissante.

$a_n=(-1{)}^n\cdot \frac{n-1}{n}$ n’est ni croissante ni décroissante: $a_2>a_1$ mais $a_3<a_2$.

$a_n=\frac{3n+4}{n+1}$ est strictement décroissante. $$a_n-a_{n+1}=\frac{3n+4}{n+1}-\frac{3(n+1)+4}{(n+1)+1}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0,$$ donc $a_n>a_{n+1}$.

Soit $({\alpha }_n)$ une suite telle que ${\alpha }_n⩾0$ pour tout $n$. Alors la suite $(a_n)$ définie par $a_n={\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n$ est croissante, puisque $a_{n+1}-a_n={\alpha }_{n+1}⩾0$.