Limites infinies en un point

On définit maintenant la divergence vers l’infini en un point.

Définitions 1.1. Soit

x_{0} \in R

f

une fonction définie sur un voisinage épointé de

x_{0}

$f$ tend vers $+ \infty$ lorsque $x \to x_{0}$ si $\forall M > 0$ , $\exists δ > 0$ tel que $0 < ∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ ⟹ f (x) ⩾ M .$ On écrit $lim_{x \to x_{0}} f (x) = + \infty$ .
$f$ tend vers $- \infty$ lorsque $x \to x_{0}$ si $\forall M < 0$ , $\exists δ > 0$ tel que $0 < ∣ x - x_{0} ∣ ⩽ δ ⟹ f (x) ⩽ M .$ On écrit $lim_{x \to x_{0}} f (x) = + \infty$ .
$f$ tend vers $+ \infty$ lorsque $x \to x_{0}^{+}$ si $\forall M > 0$ , $\exists δ > 0$ tel que $x_{0} < x ⩽ x_{0} + δ ⟹ f (x) ⩾ M .$ On écrit $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = + \infty$ .
$f$ tend vers $- \infty$ lorsque $x \to x_{0}^{+}$ si $\forall M < 0$ , $\exists δ > 0$ tel que $x_{0} < x ⩽ x_{0} + δ ⟹ f (x) ⩽ M .$ On écrit $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = - \infty$ .
$f$ tend vers $+ \infty$ lorsque $x \to x_{0}^{-}$ si $\forall M > 0$ , $\exists δ > 0$ tel que $x_{0} - δ ⩽ x < x_{0} ⟹ f (x) ⩾ M .$ On écrit $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = + \infty$ .
$f$ tend vers $- \infty$ lorsque $x \to x_{0}^{-}$ si $\forall M < 0$ , $\exists δ > 0$ tel que $x_{0} - δ ⩽ x < x_{0} ⟹ f (x) ⩽ M .$ On écrit $lim_{x \to x_{0}^{-}} f (x) = - \infty$ .

On définit les limites latérales infinies de manière analogue. Par exemple, $lim_{x \to x_{0}^{+}} f (x) = + \infty$ $⟺$ $\forall M > 0$ , $\exists δ > 0$ tel que $x_{0} < x ⩽ x_{0} + δ ⟹ f (x) ⩾ M .$

Comme avant, une limite infinie en un point $x_{0}$ ne dit rien sur la valeur de $f$ en $x_{0}$ .

Exemples 1.2.

On a $lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = + \infty$ et $lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = - \infty$ , mais $lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$ ne tend pas vers $\pm \infty$ .
Montrons que $lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = - \infty$ .Soit $M < 0$ . Pour $x < 0$ , $\frac{1}{x} ⩽ M \Leftrightarrow x ⩾ \frac{1}{M} .$ On pose $δ = \frac{- 1}{M}$ ; on a $δ > 0$ et $\frac{1}{x} ⩽ M$ pour tout $x \in [- δ, 0 [$ . On a donc bien que $lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{x} = - \infty$ .
On a $lim_{x \to 0} \frac{1}{x ^{2}} = + \infty$ .
Montrons que $lim_{x \to 1} \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} = + \infty$ .Soit $M > 0$ . Pour $x \neq = 1$ , $\frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} ⩾ M \Leftrightarrow (x - 1)^{2} ⩽ \frac{1}{M} \Leftrightarrow ∣ x - 1∣ ⩽ \frac{1}{M} .$ On prend $δ = \frac{1}{M}$ (ou n’importe quelle valeur dans $] 0, \frac{1}{M}]$ ). On a alors $0 < ∣ x - 1∣ ⩽ δ \Rightarrow ∣ x - 1∣ ⩽ \frac{1}{M} \Rightarrow \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} ⩾ M .$ Donc $lim_{x \to 1} \frac{1}{( x - 1 ) ^{2}} = + \infty$ .

Les propriétés habituelles sont vérifiées pour les limites infinies en un point.

Exemples 1.3.

Considérons $x \to - 2^{+} lim \frac{x ^{2} + 3 x + 1}{x ^{2} - 3 x - 10} .$ Dans la limite $x \to - 2^{+}$ , le numérateur tend vers $- 1$ et le dénominateur vers zéro $0$ . Donc le quotient ne peut pas avoir de limite finie, et pour comprendre son comportement il faut regarder de plus près le signe du dénominateur à son approche de zéro. En écrivant $\frac{x ^{2} + 3 x + 1}{x ^{2} - 3 x - 10} = \frac{x ^{2} + 3 x + 1}{( x - 5 ) ( x + 2 )} = \frac{x ^{2} + 3 x + 1}{x - 5} \cdot \frac{1}{x + 2},$ on a extrait le terme qui pose problème: en posant $y = x + 2$ , $x \to - 2^{+}$ implique $y \to 0^{+}$ , et donc $x \to - 2^{+} lim \frac{1}{x + 2} = y \to 0^{+} lim \frac{1}{y} = + \infty .$ D’autre part, $x \to - 2^{+} lim \frac{x ^{2} + 3 x + 1}{x - 5} = \frac{- 1}{- 7} = \frac{1}{7} .$ Puisque $\frac{1}{7} > 0$ , on peut conclure: $x \to - 2^{+} lim \frac{x ^{2} + 3 x + 1}{x ^{2} - 3 x - 10} = x \to - 2^{+} lim \frac{x ^{2} + 3 x + 1}{x - 5} \cdot \frac{1}{x + 2} = + \infty$
Considérons $x \to - 1 lim \frac{9 - 2 x sin ( \frac{1}{x + 1} )}{( x + 1 ) ^{2}} .$ Puisque $x \to - 1 lim \frac{1}{( x + 1 ) ^{2}} = + \infty,$ et puisque $9 - 2 x sin (\frac{1}{x + 1}) ⩾ 7 > 0$ sur un voisinage épointé de $- 1$ , on conclut que $x \to - 1 lim \frac{9 - 2 x sin ( \frac{1}{x + 1} )}{( x + 1 ) ^{2}} = + \infty .$

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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