On a ${\lim }_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty$ et ${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty$, mais ${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x}$ ne tend pas vers $\pm \infty$.

Montrons que ${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty$.

Soit $M<0$. Pour $x<0$,

On pose $\delta =\frac{-1}{M}$; on a $\delta >0$ et $\frac{1}{x}⩽M$ pour tout $x\in [-\delta ,0[$. On a donc bien que ${\lim }_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty$.

Montrons que ${\lim }_{x\to 1}\frac{1}{(x-1{)}^2}=+\infty$.

Soit $M>0$. Pour $x\ne 1$,

On prend $\delta =\frac{1}{\sqrt{M}}$ (ou n’importe quelle valeur dans $]0,\frac{1}{\sqrt{M}}]$). On a alors

Donc ${\lim }_{x\to 1}\frac{1}{(x-1{)}^2}=+\infty$.

Considérons

Dans la limite $x\to -2^{+}$, le numérateur tend vers $-1$ et le dénominateur vers zéro $0$. Donc le quotient ne peut pas avoir de limite finie, et pour comprendre son comportement il faut regarder de plus près le signe du dénominateur à son approche de zéro. En écrivant

on a extrait le terme qui pose problème: en posant $y=x+2$, $x\to -2^{+}$ implique $y\to 0^{+}$, et donc

D’autre part,

Puisque $\frac{1}{7}>0$, on peut conclure:

Considérons

Puisque

et puisque $9-2x\sin \left(\frac{1}{x+1}\right)⩾7>0$ sur un voisinage épointé de $-1$, on conclut que