Analyse B (MAN)

Une suite réelle peut être vue comme une liste infinie de nombres réels, écrit dans un certain ordre:

a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, \dots

Ici, $a_{1}$ est le premier terme, $a_{2}$ le deuxième terme, etc. On peut parler du terme général, $a_{n}$ . Le nombre naturel $n$ est appelé l’indice (ou le rang) de $a_{n}$ . Voici une définition plus précise.

Une suite de nombres réels est une application

a : N^{*} n ⟶ R ⟼ a (n) = a_{n} .

On écrit

(a_{n})_{n \in N^{*}}

, ou simplement

(a_{n})

, pour la suite définie ainsi.

$a_{n} = n :$ $1, 2, 3, 4, 5, \dots$
$a_{n} = \frac{1}{n} :$ $1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \dots$
$a_{n} = 42 :$ $42, 42, 42, 42, 42, \dots$
$a_{n} = (- 1)^{n} :$ $- 1, 1, - 1, 1, - 1, 1, \dots$
$a_{n} = n$ -ième chiffre du développement décimal de $π$ ( $π = 3.14159 \dots$ ) : $1, 4, 1, 5, 9, 2, \dots$

Il y a plusieurs façons de définir des suites:

par une formule explicite de $a_{n}$ en fonction de $n$ , par exemple $a_{n} = n^{2}$ ;
de manière descriptive, ou implicite, par exemple $a_{n} = n$ -ième chiffre du développement décimal de $π$ ;
par une relation de récurrence, où $a_{n}$ est exprimé en fonction des termes précédents, en précisant quelques premiers termes, par exemple $a_{n + 1} = 2 a_{n} - 1, a_{1} = 1$ .

Parfois, c’est utile de représenter les suites graphiquement. On peut représenter une suite $(a_{n})$ sur la droite réelle $R$ :

On peut aussi tracer le graphe de la fonction $a : N^{*} \to R$ , $a (n) = a_{n}$ dans le plan:

Les points dessinés sont de la forme $(n, a_{n})$ .

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0)

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