Composition de fonctions

Définition 1.1. La composée de deux fonctions

f

g

, notée

g \circ f

, est définie par

(g \circ f) (x) = g (f (x)) .

Pour que le nombre $(g \circ f) (x)$ soit défini, il faut que $x \in D_{f}$ et que $f (x) \in D_{g}$ .

Graphes et compositions

On peut parfois déduire le graphe d’une fonction “compliquée”, en l’interprétant comme une composition de fonctions “simples” dont on connaît le graphe. Il est donc utile de savoir quel effet ont des compositions avec des fonctions “simples” sur le graphe d’une fonction.

On présente quelques cas simples. Une animation en bas de page permet de tester l’effet de ces compositions.

Soit $f$ une fonction quelconque.

Si $g (x) = x + a$ , $(g \circ f) (x) = g (f (x)) = f (x) + a$ , et le graphe de $g \circ f$ est une translation verticale du graphe de $f$ , de $a$ unités, vers le haut si $a > 0$ , et vers le bas si $a < 0$ :
Si $g (x) = x + a$ , $(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x + a)$ , et le graphe de $f \circ g$ est une translation horizontale du graphe de $f$ , de $a$ unités vers la gauche si $a > 0$ , vers la droite si $a < 0$ :
La direction peut sembler un peu contre-intuitive. Pour se convaincre, ça pourrait aider de réécrire $(f \circ g) (x - a) = f (g (x - a)) = f ((x - a) + a) = f (x)$ .
Si $g (x) = a x$ , $(g \circ f) (x) = g (f (x)) = a f (x)$ , et le graphe de $g \circ f$ représente un étirement vertical de celui de $f$ :
Si $g (x) = a x$ , $(f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (a x)$ , et le graphe de $f \circ g$ est un étirement horizontal de celui de $f$ :
Si $g (x) = ∣ x ∣$ , $(g \circ f) (x) = g (f (x)) = ∣ f (x) ∣$ , toute partie négative de la fonction est reflétée à travers l’axe $O x$ :

Exemples 1.1.

Pour esquisser le graphe de $f (x) = x^{2} + 6 x + 7$ , on remarque que $f (x) = (x + 3)^{2} - 2$ . C’est donc le graphe de $x^{2}$ , translaté vers la gauche de 3 unités, puis translaté vers le bas de 2 unités.
On peut dessiner le graphe de $f (x) = ∣ x^{2} - 1∣$ en décomposant la fonction en trois étapes: $x \mapsto x^{2} \mapsto x^{2} - 1 \mapsto ∣ x^{2} - 1∣$ . Donc pour obtenir le graphe de $f$ , on prend le graphe de $x^{2}$ , on le translate vers le bas d’une unité, puis on réfléchit la partie négative à travers $O x$ :

L’animation ci-dessous résume les différents types de transformations décrits dans cette section:

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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