L’utilisation du rayon-vecteur permet de comparer les positions en deux instants $t_0<t_0+\Delta t$, à l’aide du déplacement $\vec{r}(t_0+\Delta t)-\vec{r}(t_0)$:

On s’attend à ce que si les instants $t_0$ et $t_0+\Delta t$ sont très rapprochés, le déplacement devienne aussi petit. Si on divise ce vecteur par la durée de l’intervalle $[t_0,t_0+\Delta t]$, le quotient

doit être interprété comme une vitesse sur cet intervalle.

Dans la limite où $\Delta t\to 0$, on fait ainsi apparaître les dérivées des fonctions $x(t)$ et $y(t)$ par rapport au temps:

S’il ne s’annule pas, le vecteur tangent donne en particulier la direction de la tangente à la courbe en au point $M(t_0)$:

Mais il donne plus d’informations que ça, puisqu’il doit être interprété comme le vecteur de vitesse instantanée de la particule à l’instant $t_0$; il donne aussi le sens du déplacement.

L’étude des signes de $\dot{x}(t)$ et $\dot{y}(t)$ renseigne donc sur la direction et le sens de déplacement de la particule à l’instant $t$:

En particulier,

• si $\dot{x}(t)\ne 0$ et $\dot{y}(t)=0$, la courbe possède un point de tangence horizontale en $M(t)$,
• si $\dot{x}(t)=0$ et $\dot{y}(t)\ne 0$, la courbe possède un point de tangence verticale en $M(t)$.

Exemple 6.8. Considérons la courbe $$\begin{array}{rl}M:\mathbb{R}& ⟶{\mathbb{R}}^2\\ t& ⟼M(t)=\left(t^2,t\right).\end{array}$$ L’étude des signes de $x(t)=t^2$ et $y(t)=t$ nous dit déjà à quel quadrant appartient $M(t)$, en fonction du temps $t$:

Ensuite, $$\vec{r}(t)=\left(\begin{array}{c}{t}^2\\ t\end{array}\right),\dot{\vec{r}}(t)=\left(\begin{array}{c}2t\\ 1\end{array}\right).$$ Les signes de $\dot{x}(t)$ et $\dot{y}(t)$ donnent la direction dans laquelle pointe $\dot{\vec{r}}(t)$:

Le point $M(0)=(0,0)$ est un point de tangence verticale puisque $$\dot{\vec{r}}(0)=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right).$$ On peut maintenant tracer la courbe:

Exemple 6.9. Si on reprend la courbe paramétrée décrivant un cercle, on a $$\vec{r}(t)=\left(\begin{array}{c}\cos (t)\\ \sin (t)\end{array}\right),\dot{\vec{r}}(t)=\left(\begin{array}{c}-\sin (t)\\ \cos (t)\end{array}\right).$$

(On remarque que $\vec{r}(t)\perp \dot{\vec{r}}(t)$ pour tout $t$, une caractéristique spécifique au mouvement circulaire.)

6.2.1 Points stationnaires

Considérons un cas où le vecteur tangent peut s’annuler.

Exemple 6.10. Pour $t\in \mathbb{R}$, considérons la courbe décrite par $$\vec{r}(t)=\left(\begin{array}{c}{t}^3\\ t^6/2\end{array}\right),\dot{\vec{r}}(t)=\left(\begin{array}{c}3t^2\\ 3t^5\end{array}\right).$$ Puisque $$\dot{\vec{r}}(0)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right),$$ le vecteur tangent à l’instant $t=0$ ne donne aucune information sur l’allure de la courbe au voisinage de ce point (tangence, sens de déplacement, etc.). Comment faire, donc, pour étudier la courbe au voisinage de $M(0)=(0,0)$?
Ce qu’il faut remarquer c’est que $t=0$ est l’unique instant où $\dot{\vec{r}}(t)$ s’annule. Or tant qu’il n’est pas nul, même très petit, il contient quand même de l’information.
On peut par exemple considérer la pente du vecteur tangent en un temps $t\ne 0$, donnée par $$\frac{\dot{y}(t)}{\dot{x}(t)}=\frac{3t^5}{3t^2}=t^3.$$ Au voisinage de $t=0$, le vecteur tangent a donc une pente qui est négative si $t<0$, positive si $t>0$, et dans la limite $t\to 0$ tend vers $$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\dot{y}(t)}{\dot{x}(t)}=\underset{t\to 0}{\lim }{t}^3=0.$$ Ceci signifie que la courbe doit possèder en $t=0$ une tangente horizontale.

Remarquons qu’on aurait pu obtenir la même information en remarquant que $t^6=(t^3{)}^2$, et donc $y(t)=x(t{)}^2/2$, ce qui signifie que tous les points $M(t)=(x(t),y(t))$ de la courbe sont sur la parabole $y=x^2/2$. En particulier, le point $M(0)=(0,0)$ est forcément un point de tangence horizontale.

Pour étudier $\Gamma$ au voisinage d’un point stationnaire, on pourra procéder comme dans l’exemple précédent:

• en étudiant les signes de $\dot{x}(t)$ et $\dot{y}(t)$ pour $t<t_0$ et $t>t_0$,
• étudier la pente de $\dot{\vec{r}}(t)$, donnée par $\frac{\dot{y}(t)}{\dot{x}(t)}$ lorsque $t\to t_0^{\pm }$.

Exemple 6.12. Considérons, pour $t\in \mathbb{R}$, la courbe $$\vec{r}(t)=\left(\begin{array}{c}{t}^2\\ t^3\end{array}\right),\dot{\vec{r}}(t)=\left(\begin{array}{c}2t\\ 3t^2\end{array}\right).$$ Puisque $\dot{\vec{r}}(0)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$, $M(0)=(0,0)$ est un point stationnaire. Etudions l’allure de la courbe au voisinage de ce point.
Les signes de $x(t)$ et $y(t)$ renseignent sur le quadrant:

Puis, les signes de $\dot{x}(t)$ et $\dot{y}(t)$ renseignent sur la direction dans laquelle pointe $\dot{\vec{r}}(t)$:

De plus, à l’approche du point stationnaire, la pente de $\dot{\vec{r}}(t)$ tend vers $$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\dot{y}(t)}{\dot{x}(t)}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{3t^2}{2t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{3t}{2}=0.$$ On en déduit que le point stationnaire $M(0)=(0,0)$ est un “point de rebroussement”, puisque la particule arrive depuis $IV$, avec la pente du vecteur tangent proche de zéro, puis repart dans $I$, avec la pente du vecteur tangent toujours proche de zéro.