Propriétés des limites

Théorème 1.1. Une suite convergente n’admet qu’une seule limite.

Exercice facultatif, utilisant la remarque précédente.

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Théorème 1.2. Une suite convergente est bornée.

Supposons que

a_{n} \to L

. Prenons un

ε > 0

quelconque, par exemple

ε = 3

. Puisque

a_{n} \to L

, il existe

N

tel que pour tout

n ⩾ N

∣ a_{n} - L ∣ ⩽ 3

. À partir de l’indice

N

, on a donc

∣ a_{n} ∣ ⩽ 3 + ∣ L ∣

. Si on définit

C := max {∣ a_{1} ∣, ∣ a_{2} ∣, ∣ a_{3} ∣, \dots, ∣ a_{N - 1} ∣, 3 + ∣ L ∣},

alors

∣ a_{n} ∣ ⩽ C

pour tout

n

;

(a_{n})

est donc bornée.

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Proposition 1. On a les propriétés des limites suivantes.
$a_{n} \to L, λ \in R ⟹ λ a_{n} \to λ L$ .
$a_{n} \to L_{1}, b_{n} \to L_{2} ⟹ a_{n} + b_{n} \to L_{1} + L_{2}$ .
$a_{n} \to L_{1}, b_{n} \to L_{2} ⟹ a_{n} b_{n} \to L_{1} L_{2}$ .
$a_{n} \to L_{1}, b_{n} \to L_{2} \neq = 0 ⟹ \frac{a _{n}}{b _{n}} \to \frac{L _{1}}{L _{2}}$ .
$a_{n} \to L_{1}, b_{n} \to L_{2} et a_{n} ⩽ b_{n} \forall n ⟹ L_{1} ⩽ L_{2}$ .
$a_{n} \to L ⟹ ∣ a_{n} ∣ \to ∣ L ∣$ .
$a_{n} \to 0 ⟺ ∣ a_{n} ∣ \to 0$ .

Preuve de 3): Soit $ε > 0$ donné. Il faut montrer qu’il existe $N$ tel que $∣ a_{n} b_{n} - L_{1} L_{2} ∣ ⩽ ε$ $\forall n ⩾ N$ . Puisque $(b_{n})$ est une suite convergente, elle est bornée et il existe donc $C$ tel que $∣ b_{n} ∣ ⩽ C$ $\forall n$ (par le théorème précédent).Comme $a_{n} \to L_{1}$ , $\exists N_{1}$ tel que $∣ a_{n} - L_{1} ∣ ⩽ \frac{ε}{2 C}$ $\forall n ⩾ N_{1}$ .Comme $b_{n} \to L_{2}$ , $\exists N_{2}$ tel que $∣ b_{n} - L_{2} ∣ ⩽ \frac{ε}{2∣ L _{1} ∣}$ $\forall n ⩾ N_{2}$ .En prenant $N := max {N_{1}, N_{2}}$ , on a $\forall n ⩾ N$ : $∣ a_{n} b_{n} - L_{1} L_{2} ∣ = ∣ a_{n} b_{n} - L_{1} b_{n} + L_{1} b_{n} - L_{1} L_{2} ∣ = ∣ b_{n} (a_{n} - L_{1}) + L_{1} (b_{n} - L_{2}) ∣ ⩽ ∣ b_{n} (a_{n} - L_{1}) ∣ + ∣ L_{1} (b_{n} - L_{2}) ∣ = ∣ b_{n} ∣ \cdot ∣ a_{n} - L_{1} ∣ + ∣ L_{1} ∣ \cdot ∣ b_{n} - L_{2} ∣ ⩽ C \frac{ε}{2 C} + ∣ L_{1} ∣ \frac{ε}{2∣ L _{1} ∣} ⩽ ε .$
Preuve de 5): Par l’absurde: supposons que $L_{1} > L_{2}$ . Soit $ε := \frac{L _{1} - L _{2}}{3}$ et prenons $N_{1}$ tel que $a_{n}$ est dans l’ $ε$ -voisinage de $L_{1}$ $\forall n ⩾ N_{1}$ , et $N_{2}$ tel que $b_{n}$ est dans l’ $ε$ -voisinage de $L_{2}$ $\forall n ⩾ N_{2}$ . En particulier, $\forall n ⩾ max {N_{1}, N_{2}}$ , on a $a_{n} > b_{n}$ , ce qui est absurde.

On laisse les preuves des autres assertions en exercice facultatif.

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Exemple 1.3. Reprenons l’exemple de

a_{n} = \frac{2 n ^{2} - 1}{n ^{2} + 1}

, pour lequel on avait montré que

a_{n} \to 2

, uniquement à l’aide de la définition de limite.
Une autre façon d’obtenir le même résultat est de remarquer que

a_{n} = \frac{2 n ^{2} - 1}{n ^{2} + 1} = \frac{n ^{2} ( 2 - \frac{1}{n ^{2}} )}{n ^{2} ( 1 + \frac{1}{n ^{2}} )} = \frac{2 - \frac{1}{n ^{2}}}{1 + \frac{1}{n ^{2}}} .

Or on peut montrer que

\frac{1}{n ^{2}} \to 0

. En effet, pour

ε > 0

, on a

\frac{1}{n ^{2}} ⩽ ε ⟺ n ⩾ \frac{1}{ε}

. En prenant

N

tel que

N ⩾ \frac{1}{ε}

, on a donc

\frac{1}{n ^{2}} ⩽ ε

\forall n ⩾ N

.
Donc maintenant, à l’aide des propriétés de la limite listées ci-dessus,

n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim \frac{2 - \frac{1}{n ^{2}}}{1 + \frac{1}{n ^{2}}} = \frac{2 - lim _{n \to \infty} \frac{1}{n ^{2}}}{1 + lim _{n \to \infty} \frac{1}{n ^{2}}} = \frac{2 - 0}{1 + 0} = 2 .

Théorème 1.4 (Théorème des deux gendarmes). Soit $(x_{n})$ une suite. S’il existe deux suites $(a_{n})$ et $(b_{n})$ telles que
$a_{n} ⩽ x_{n} ⩽ b_{n}$ $\forall n$ suffisamment grand, et
$lim_{n \to \infty} a_{n} = lim_{n \to \infty} b_{n} = L$ ,
alors $lim_{n \to \infty} x_{n} = L$ .

Soit

ε > 0

. On cherche un

N

tel que

∣ x_{n} - L ∣ ⩽ ε

\forall n ⩾ N

. On a

$\exists N_{1}$ tel que $∣ a_{n} - L ∣ ⩽ ε$ $\forall n ⩾ N_{1}$ ,
$\exists N_{2}$ tel que $∣ b_{n} - L ∣ ⩽ ε$ $\forall n ⩾ N_{2},$ et
$\exists N_{3}$ tel que $a_{n} ⩽ x_{n} ⩽ b_{n}$ $\forall n ⩾ N_{3}$ .

Pour

n ⩾ N := max {N_{1}, N_{2}, N_{3}}

, on a

L - ε ⩽ a_{n} ⩽ x_{n} ⩽ b_{n} ⩽ L + ε

et donc

L - ε ⩽ x_{n} ⩽ L + ε

, ce qui est équivalent à

∣ x_{n} - L ∣ ⩽ ε

. Donc

lim_{n \to \infty} x_{n} = L

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Exemple 1.5. Montrons que la suite

x_{n} = \frac{( n - 1 ) ^{2}}{n !}

tend vers zéro.
On va trouver

a_{n}, b_{n} \to 0

telles que

a_{n} ⩽ x_{n} ⩽ b_{n}

. Puisque

x_{n} ⩾ 0

\forall n

, on peut prendre

a_{n} = 0

. Pour trouver une suite

(b_{n})

, on remarque que

x_{n} = \frac{( n - 1 ) ( n - 1 )}{n ( n - 1 ) ( n - 2 ) \dots 3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{n - 1}{n ( n - 2 ) \dots 3 \cdot 2 \cdot 1} = (\frac{n - 1}{n}) (\frac{1}{n - 2}) (\frac{1}{n - 3}) \dots \frac{1}{2} ⩽ \frac{1}{n - 2} .

On peut donc prendre

b_{n} = \frac{1}{n - 2}

, et on a

b_{n} \to 0

. Le théorème des deux gendarmes implique que

x_{n} \to 0

On peut aussi utiliser ce théorème pour montrer la propriété des limites suivante.

Corollaire 1. Soient $(x_{n})$ et $(y_{n})$ deux suites. Si $x_{n} \to 0$ et $(y_{n})$ est bornée, alors $x_{n} y_{n} \to 0$ .

Puisque

(y_{n})

est bornée, il existe

C

tel que

∣ y_{n} ∣ ⩽ C

\forall n

. On a donc

0 ⩽ ∣ x_{n} y_{n} ∣ = ∣ x_{n} ∣ \cdot ∣ y_{n} ∣ ⩽ C ∣ x_{n} ∣

. On pose alors

a_{n} = 0

b_{n} = C ∣ x_{n} ∣

. Puisque

a_{n}, b_{n} \to 0

, par le théorème des deux gendarmes, on a

∣ x_{n} y_{n} ∣ \to 0

, et donc

x_{n} y_{n} \to 0

par les propriétés des limites vues ci-dessus.

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Exemple 1.6. La suite

a_{n} = \frac{s i n ( n ^{2} + 7 c o s ( n ^{2} ))}{n}

tend vers zéro, car

a_{n} = x_{n} y_{n}

où

x_{n} = \frac{1}{n} \to 0

y_{n} = sin (n^{2} + 7 cos (n^{2}))

est bornée, car

∣ y_{n} ∣ ⩽ 1

Le résultat suivant est souvent résumé en disant que toute suite monotone et bornée converge.

Théorème 1.7. Une suite croissante et majorée converge.
Une suite décroissante et minorée converge.

Exemples 1.8.

$a_{n} = \frac{n}{n + 1}$ est croissante car $a_{n + 1} - a_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} - \frac{n}{n + 1} = \frac{( n + 1 ) ^{2} - n ( n + 2 )}{( n + 1 ) ( n + 2 )} = \frac{1}{( n + 1 ) ( n + 2 )} ⩾ 0.$ De plus, $a_{n} = \frac{n}{n + 1} ⩽ \frac{n + 1}{n + 1} = 1$ $\forall n$ , et donc $(a_{n})$ est majorée. Par le théorème ci-dessus, $(a_{n})$ est convergente.
$a_{n} = n$ est croissante mais pas majorée. Cette suite diverge, $lim_{n \to \infty} a_{n} = + \infty$ .
$a_{n} = (- 1)^{n}$ est bornée mais pas monotone. Elle n’a pas de limite.
$a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$ est bornée, pas monotone, et converge: $a_{n} \to 0$ .

Le dernier exemple montre qu’être monotone et borné n’est pas une condition nécessaire pour la convergence.

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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