Règle de Bernoulli--de l'Hôpital

Règle de Bernoulli–de l’Hôpital

On a utilisé les limites pour calculer les dérivées à partir de la définition. On va voir maintenant que les dérivées peuvent nous aider à calculer les limites. Prenons l’exemple d’une indétermination du type “ $\frac{0}{0}$ ”,

x \to 0 lim \frac{sin ( x ) - x}{x ^{3}} .

On ne peut pas utiliser l’IPE $sin (x) \sim x$ ici, car ce n’est pas une expression factorisée. Pour calculer cette limite, on introduit l’outil suivant.

Théorème 1.1 (Règle de BH). Soient $f$ et $g$ définies sur un voisinage épointé $V$ de $x_{0} \in R$ , telles que $f$ et $g$ y sont dérivables et $g (x), g^{'} (x) \neq = 0$ sur $V$ . Si $x \to x_{0} lim f (x) = x \to x_{0} lim g (x) \in {0, + \infty, - \infty}$ et la limite $lim_{x \to x_{0}} \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )}$ existe ou est égale à $+ \infty$ ou $- \infty$ , alors on a $x \to x_{0} lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = x \to x_{0} lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )} .$

Ce théorème reste vrai si on remplace

$lim_{x \to x_{0}}$ par $lim_{x \to x_{0}^{+}}$ ou $lim_{x \to x_{0}^{-}}$ , ou
$V$ par un voisinage de $\pm \infty$ et $lim_{x \to x_{0}}$ par $lim_{x \to \pm \infty}$ .

Montrons le cas particulier où

x \to x_{0} lim f (x) = x \to x_{0} lim g (x) = 0, et x \to x_{0} lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )} = L \in R .

On prolonge d’abord

f

g

par continuité en définissant

\tilde{f} (x) := {f (x) 0 si x \neq = x_{0} si x = x_{0}, et \tilde{g} (x) := {g (x) 0 si x \neq = x_{0} si x = x_{0} .

Ces prolongées sont continues sur un voisinage de

x_{0}

.

Soit

x \in V

tel que

x_{0} < x

. Alors

\tilde{f}

\tilde{g}

sont continues sur

[x_{0}, x]

et dérivables sur

] x_{0}, x [

. On peut donc appliquer le TAF généralisé sur cet intervalle. Ainsi, il existe

t \in] x_{0}, x [

tel que

\frac{f ~ ^{'} ( t )}{g ~ ^{'} ( t )} = \frac{f ~ ( x ) - f ~ ( x _{0} )}{g ~ ( x ) - g ~ ( x _{0} )} = \frac{f ~ ( x )}{g ~ ( x )} .

Lorsque

x \to x_{0}^{+}

, on a

t \to x_{0}^{+}

, et donc

x \to x_{0}^{+} lim \frac{f ( x )}{g ( x )} = x \to x_{0}^{+} lim \frac{f ~ ( x )}{g ~ ( x )} = x \to x_{0}^{+} lim \frac{f ~ ^{'} ( t )}{g ~ ^{'} ( t )} = t \to x_{0}^{+} lim \frac{f ~ ^{'} ( t )}{g ~ ^{'} ( t )} = L .

De manière analogue, on montre que

lim_{x \to x_{0}^{-}} \frac{f ( x )}{g ( x )} = L

. On peut donc conclure que

lim_{x \to x_{0}} \frac{f ( x )}{g ( x )} = L

□

La Règle de BH s’applique seulement dans un cas d’indétermination du type “ $\frac{0}{0}$ ” ou “ $\frac{\pm \infty}{\pm \infty}$ ”.

Exemples 1.2.

(“ $\frac{0}{0}$ ”): $lim_{x \to 0} \frac{s i n ( x ) - x}{x ^{3}}$
- $f$ , $g$ définies et dérivables sur un voisinage épointé de $0$ , par ex. $] - 1, 1 [∖ {0}$ ,
- $g (x) \neq = 0$ , $g^{'} (x) = 3 x^{2} \neq = 0$ sur ce voisinage épointé.
On calcule $x \to 0 lim \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )} = x \to 0 lim \frac{cos ( x ) - 1}{3 x ^{2}} = x \to 0 lim \frac{- ( x ^{2} /2 )}{3 x ^{2}} (par IPE) = \frac{- 1}{6} .$ Par BH, on a donc $lim_{x \to 0} \frac{s i n ( x ) - x}{x ^{3}} = \frac{- 1}{6}$ .
(“ $\frac{\infty}{\infty}$ ”): $lim_{x \to \infty} \frac{x}{e ^{x}}$
- $f$ , $g$ définies et dérivables sur $] 1, \infty [$ ,
- $g (x) \neq = 0$ , $g^{'} (x) = e^{x} \neq = 0$ sur $] 1, \infty [$ .
On calcule $lim_{x \to \infty} \frac{f ^{'} ( x )}{g ^{'} ( x )} = lim_{x \to \infty} \frac{1}{e ^{x}} = 0,$ Par BH, on a donc $lim_{x \to \infty} \frac{x}{e ^{x}} = 0$ .

Généralisation: pour tout $n \in N^{*}$ , on a $lim_{x \to \infty} \frac{x ^{n}}{e ^{x}}$ .

Preuve par récurrence:
Vérifié pour

n = 1

ci-dessus. Si c’est vrai pour

n

, alors on a pour

n + 1

x \to \infty lim \frac{x ^{n + 1}}{e ^{x}} BH = x \to \infty lim \frac{( n + 1 ) x ^{n}}{e ^{x}} = (n + 1) \cdot = 0 par hyp. x \to \infty lim \frac{x ^{n}}{e ^{x}} = 0.

On déduit que pour tout polynôme

P (x)

, on a

lim_{x \to \infty} \frac{P ( x )}{e ^{x}} = 0

, et que pour tout

n \in N^{*}

x \to \infty lim \frac{( ln ( x ) ) ^{n}}{x} = y \to \infty lim \frac{y ^{n}}{e ^{y}} = 0,

en utilisant le changement de variable

y = ln (x)

□

Exemples 1.3. Voici quelques autres indéterminations.

(“ $0 \cdot \pm \infty$ ”): $lim_{x \to 0^{+}} (x \cdot ln (x))$ $x \to 0^{+} lim (x \cdot ln (x)) = - x \to 0^{+} lim \frac{- ln ( x )}{1/ x} = - x \to 0^{+} lim \frac{- 1/ x}{- 1/ x ^{2}} (par BH, \frac{\infty}{\infty}) = - x \to 0^{+} lim x = 0.$
(“ $0^{0}$ ”): $lim_{x \to 0^{+}} x^{x}$ $x \to 0^{+} lim x^{x} = x \to 0^{+} lim e^{x l n (x)} (en g \overset{e}{ˊ} n \overset{e}{ˊ} ral, f (x)^{g (x)} = e^{g (x) \cdot l n (f (x))}) = exp (x \to 0^{+} lim (x \cdot ln (x))) (car exp (x) est continue) = exp (0) = 1.$
(“ $1^{\infty}$ ”): $lim_{x \to \infty} (1 + \frac{1}{x})^{x}$ $x \to \infty lim (1 + \frac{1}{x})^{x} = x \to \infty lim exp (x \cdot ln (1 + \frac{1}{x})) = exp (x \to \infty lim (x \cdot ln (1 + \frac{1}{x}))) = exp (x \to \infty lim \frac{ln ( 1 + \frac{1}{x} )}{1/ x}) = exp (x \to \infty lim \frac{\frac{1}{1 + 1/ x} \cdot ( - 1/ x ^{2} )}{( - 1/ x ^{2} )}) = exp (1) = e .$

Exemples 1.4. Voici aussi quelques exemples où il ne faudrait pas utiliser la Règle de BH.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{2 x + 1} \neq = lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2} .$ Ceci n’est pas une forme indéterminée, la limite du dénominateur n’est pas $0$ . On a $lim_{x \to 0} \frac{x}{2 x + 1} = 0$ .
$lim_{x \to 0} \frac{s i n ( x )}{x} = 1.$ Même si BH s’applique, on connaît déjà cette limite après notre travail sur les IPE.
$lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 1} = lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x - 1} = 1.$ Ici, BH s’applique mais ne donne rien d’utile: $lim_{x \to \infty} \frac{x + 1}{x - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{1/2 x + 1}{1/2 x - 1} = lim_{x \to \infty} \frac{x - 1}{x + 1} .$
$lim_{x \to \infty} \frac{x ^{999} - x ^{1000}}{3 x ^{1000} - x ^{1001}} = lim_{x \to \infty} \frac{- x ^{1000}}{- x ^{1001}} = 0.$

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

© 2026 Projet Botafogo. En savoir plus.