Intégration par changement de variable

Dans cette section, on suppose que $f$ est continue, et $g$ est dérivable avec $g^{'}$ continue.

On a déjà vu l’expression

\int f (g (x)) \cdot g^{'} (x) d x = F (g (x)) + C,

où $F$ est une primitive de $f$ . Pour rendre plus clair l’étape qui consiste à chercher la primitive de $f$ , récrivons cette expression à l’aide d’une étape intermédiaire, en voyant $g (x)$ comme une nouvelle variable:

g (x) = u .

On a donc

u^{'} = \frac{d u}{d x} = g^{'} (x),

ce qui mène à l’association “ $d u = g^{'} (x) d x$ ”. On peut ainsi écrire notre intégrale indéfinie en termes de $u$ seulement:

\int f (u g (x)) \cdot d u g^{'} (x) d x = \int f (u) d u .

On a ainsi isolé la difficulté, qui est de calculer

= \int f (u) d u = F (u) + C .

Ensuite, on revient à la variable $x$ ,

F (u) + C = F (g (x)) + C .

Exemples 1.1.

Calculons $\int cos (3 x) d x$ , en posant $u = 3 x$ , $d u = 3 d x$ : $\int cos (3 x) d x = \int cos (u) \frac{d u}{3} = \frac{1}{3} \int cos (u) d u = \frac{1}{3} sin (u) + C = \frac{1}{3} sin (3 x) + C$
Calculons $\int x \cdot e^{x^{2} + 1} d x$ En posant $u = x^{2} + 1$ , $d u = 2 x d x$ : $\int x \cdot e^{x^{2} + 1} d x = \int e^{u} \frac{d u}{2} = \frac{1}{2} \int e^{u} d u = \frac{1}{2} e^{u} + C = \frac{1}{2} e^{x^{2} + 1} + C .$
En posant $u = x + 1$ , $d u = 1 \cdot d x$ : $\int (x + 1)^{1000} d x = \int u^{1000} d u = \frac{u ^{1001}}{1001} + C = \frac{( x + 1 ) ^{1001}}{1001} + C .$
En posant $u = x + 1$ , $d u = \frac{1}{2 x} d x$ ( $⟺$ $x = u - 1$ , $d x = 2 (u - 1) d u$ ): $\int \frac{x}{x + 1} d x = \int \frac{u - 1}{u} \cdot 2 (u - 1) d u = 2 \int \frac{( u - 1 ) ^{2}}{u} d u = 2 \int (u - 2 + \frac{1}{u}) d u = u^{2} - 4 u + 2 ln ∣ u ∣ + C = (x + 1)^{2} - 4 (x + 1) + 2 ln (x + 1) + C = x + 2 x + 1 - 4 x - 4 + 2 ln (x + 1) + C = x - 2 x + 2 ln (x + 1) + C .$

Voici la version de l’intégration par changement de variable pour les intégrales définies:

\int_{a}^{b} f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x) d x = \int_{g (a)}^{g (b)} f^{'} (u) d u = f (u) ∣_{g (a)}^{g (b)} = f (g (b)) - f (g (a)) .

Polycopié rédigé par Sacha Friedli, Anastasia Khukhro, Ghid Maatouk. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

© 2026 Projet Botafogo. En savoir plus.