Introduction

Étant donné une fonction $f$ définie sur un voisinage de $x_0$, une information sur le taux de variation de $f$ sur l’intervalle $[x_0,x_0+h]$ est donnée par le quotient

appelé le rapport de Newton de $f$ en $x_0$. On pense à $h$ comme un petit changement en $x$.

Géométriquement, le rapport de Newton représente la pente de la droite sécante (en vert sur le dessin ci-dessous) au graphe de $f$, reliant les points $(x_0,f(x_0))$ et $(x_0+h,f(x_0+h))$.

Plus $h$ est petit, plus l’information donnée par le rapport de Newton sur la variation de $f$ est précise. On peut donc se poser la question: Que se passe-t-il si on fait tendre $h\to 0$ ?

Si $f$ est continue, $(x_0+h,f(x_0+h))$ se rapproche de $(x_0,f(x_0))$ à mesure que $h$ se rapproche de zéro. La limite du rapport de Newton représente donc une indétermination “$\frac{0}{0}$”. Listons quelques comportements possibles.

Lorsque $h\to 0$, le rapport de Newton

peut...

• ... tendre vers une limite finie,
• ... tendre vers $\pm \infty$,
• ... rester borné mais ne pas converger.

Considérons des exemples pour chacun de ces cas de figure.

Exemple 1.2. $f(x)=x^2$ est continue en $x_0=2$ et $$\begin{array}{rl}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(2+h{)}^2-2^2}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{4+4h+h^2-4}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }(4+h)=4.\end{array}$$ Géométriquement, la pente de la droite sécante (reliant les points $(2,f(2))$ à $(2+h,f(2+h))$) tend vers $4$ lorsque $h$ tend vers $0$.

Exemple 1.3. Considérons $$f(x)=\{\begin{array}{ll}x\cdot \sin \left(\frac{1}{x}\right)& \text{ si }x\ne 0,\\ 0& \text{ si }x=0,\end{array}$$ qui est continue en $x_0=0$ puisque $$\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=0=f(0),$$ mais pour laquelle $$\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}=\frac{h\cdot \sin \left(\frac{1}{h}\right)}{h}=\sin \left(\frac{1}{h}\right),$$ qui est borné mais n’a pas de limite lorsque $h\to 0$. Géométriquement, la pente de la droite sécante oscille entre $+1$ et $-1$ à mesure que $h$ se rapproche de $0$.

Exemple 1.4. Considérons $f(x)=\sqrt[3]{x-1}$, qui est continue en $x_0=1$ et $$\begin{array}{rl}\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(1+h)-f(1)}{h}& =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{(1+h)-1}-\sqrt[3]{1-1}}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sqrt[3]{h}}{h}\\ & =\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{\sqrt[3]{h^2}}\\ & =+\infty .\end{array}$$ Géométriquement, la droite tangente au graphe de $f$ en $1$ est verticale:

Définition

On peut écrire le nombre dérivé de diverses manières:

Géométriquement, l’existence de la dérivée $f^{\prime }(x_0)$ est équivalente à l’existence d’une tangente au graphe de $f$ au point $(x_0,f(x_0))$. En effet, lorsque $h\to 0$, la droite sécante tend vers la droite tangente au point $x_0$.

La pente de la tangente au graphe de $f$ en $x_0$ est donc

L’équation de la tangente au graphe de $f$ en $x_0$ est

qui est l’équation de la droite de pente $f^{\prime }(x_0)$ passant par le point $(x_0,f(x_0))$.

Dérivabilité latérale

Le dernier exemple le suggère: des limites latérales permettent d’introduire des notions de dérivabilité latérale.

Géométriquement, ces dérivées latérales représentent les pentes des demi-droites tangentes au graphe de $f$ à gauche et à droite, au point $(x_0,f(x_0))$.

Dérivabilité vs continuité

Attention: la réciproque du théorème est fausse! Par exemple, la fonction $f(x)=|x|$ est continue au point $x_0=0$ mais elle n’est pas dérivable en ce point.

Le théorème ci-dessus nous montre que la continuité est une condition nécessaire pour qu’une fonction soit dérivable. Mais il n’y a pas besoin de montrer séparément la continuité; il suffit de montrer que la fonction est dérivable, et sa continuité est immédiate par le résultat ci-dessus.