Remarquons que si $f$ est une symétrie, associée à la matrice $A\in M_2(\mathbb{R})$ en base canonique, alors $A\cdot A=I_n$.

Remarquons que si $A$ est une matrice de symétrie, alors $A\cdot A=I_n$, donc $A$ est inversible, et son inverse est $A^{-1}=A$. Par conséquent, la symétrie associée $f$ est aussi inversible et $f^{-1}=f$.

Puisque $g=\frac{1}{2}({\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^n}+f)$ est une projection, on sait par ce qu’on a vu dans la section précédente que l’on peut écrire, pour tout $v\in {\mathbb{R}}^n$,

et on sait que $g$ projette

• sur $\mathrm{Im}(g)=\mathrm{Im}({\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^n}+f)$,
• parallèlement à $\mathrm{Ker}(g)=\mathrm{Ker}({\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^n}+f)$.

On peut aussi remarquer que la définition

peut s’interpréter comme suit: $g(v)$ est la “moyenne” entre $v$ et $f(v)$. Ainsi, dans toute visualisation dans un choix de repère, $g(v)$ est le point milieu du segment qui relie $v$ à $f(v)$. Ceci permet d’interpréter $f(v)$ comme le symétrique de $v$ par rapport à $g(v)$, d’où l’utilisation du terme “symétrie”:

En conclusion, une symétrie $f$ se visualise, géométriquement, comme

• une symétrie par rapport à $\mathrm{Im}({\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^n}+f)$, qui se fait
• parallèlement à $\mathrm{Ker}({\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^n}+f)$.

Ces derniers sont appelés les éléments caractéristiques de $f$.

Pour terminer cette section, voyons comment construire une symétrie à partie d’éléments caractéristiques prédéterminés.