2.9 Droites affines de ℝ²

2.9 Droites affines de $R^{2}$

Définition 2.37.

Soient

v_{0}, w \in R^{2}

, où on suppose que

w \neq = (0, 0)

. L’ensemble

V = {v_{0} + tw : t \in R}

est appelé la droite affine contenant $v_{0}$ , dirigée par $w$ .

Remarque 2.38.

Si $v_{0} = (0, 0)$ , $V$ est la droite vectorielle dirigée par $w$ .
Si $v_{0} \neq = (0, 0)$ , alors $V$ ne contient pas l’origine, et n’est pas un espace vectoriel: si $v, v^{'} \in V$ alors la somme $v + v^{'}$ n’est pas forcément dans $V$ .
On a $v \in V$ si et seulement si $v - v_{0} \in W = Vect {w}$ . On appelle $W$ la droite vectorielle associée à $V$ (en traitillé, grise, sur l’animation ci-dessus). On peut donc écrire
$V = v_{0} + W = v_{0} + Vect {w},$
et interpréter la droite affine $V$ comme une translation (par $v_{0}$ ) de sa droite vectorielle associée $W$ .

2.9.1 Équation cartésienne

Soit $V = v_{0} + Vect {w}$ , où $v_{0} = (μ, ν)$ et $w = (α, β) \neq = (0, 0)$ . Si $v = (x, y)$ , alors

v \in V \Leftrightarrow v - v_{0} \in Vect {w} \Leftrightarrow x - μ y - ν α β = 0 \Leftrightarrow (x - μ) β - (y - ν) α = 0 \Leftrightarrow x β - y α = μ β - ν α .

Ainsi, l’équation générale d’une droite affine dans $R^{2}$ est du type suivant:

V : a x + b y = c

La partie ” $a x + b y$ ” contient l’information nécessaire à connaître la direction de $V$ , à savoir $(b, - a)$ , et le terme constant “ $c$ ” permet de spécifier un point particulier.

Donc si $V$ est une droite affine d’équation $a x + b y = c$ , et si un point particulier $v_{0} = (x_{0}, y_{0}) \in V$ est connu, alors $a x_{0} + b y_{0} = c$ , ce qui permet de récrire l’équation en remplaçant $c$ par cette dernière expression, ce qui donne

a x + b y = a x_{0} + b y_{0} \Leftrightarrow a (x - x_{0}) + b (x - x_{0}) = 0 \Leftrightarrow v - v_{0} \in Vect {(- b, a)}

Exemple 2.39.

Le sous-ensemble de

R^{2}

défini par

V = {(x, y) : x + 3 y = 6}

est une droite affine. Remarquons que sa droite vectorielle associée a pour équation

W : x + 3 y = 0,

et est donc dirigée par

w = (- 3, 1)

. Pour écrire

V

sous la forme ”

v_{0} + Vect {w}

”, on peut choisir un point quelconque sur

V

, par exemple

v_{0} = (3, 1)

(puisque

3 + 3 \cdot 1 = 6

). On a donc décrit

V

sous forme paramétrique:

V = v_{0} + Vect {w} = {(3 - 3 t, 1 + t), t \in R} .

Polycopié rédigé par Mathieu Huruguen, Sacha Friedli. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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2.9 Droites affines de R2

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