Dans cette section et les suivantes, on considère certains types particuliers d’applications linéaires, projections, symétries, réflexions et rotations. Ces applications seront d’abord définies à l’aide d’une propriété algébrique, puis on les interprétera en visualisant leur effet sur les vecteurs, à l’aide d’un choix de repère.

Si $f$ est une projection, associée à la matrice $A\in M_n(\mathbb{R})$ en base canonique, alors $f\circ f$ est associée à la matrice $AA=A^2$, et donc $A$ satisfait $A^2=A$.

Si $f$ est une projection, cette dernière proposition permet d’écrire, pour tout $v\in {\mathbb{R}}^n$,

Choisissons un repère, et représentons cette relation géométriquement à l’aide d’un parallélogramme:

Cette image permet de faire une remarque simple concernant la géométrie de l’application $v\mapsto f(v)$: sous l’effet de $f$, $v$ est envoyé sur son image $f(v)$ selon une direction qui est parallèle à son noyau.

Voyons cette particularité des projections dans les cas qui nous intéressent (dimensions $2$ ou $3$). Considérons donc une projection $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$, de rang $\mathrm{rg}(f)=r$, et discutons de l’interprétation géométrique de l’application $v\mapsto f(v)$, en fonction de $n$ et $r$.

1. Dans ${\mathbb{R}}^2$:
   • Si $r=0$: $f$ est identiquement nulle, $\mathrm{Im}(f)=\{0_{{\mathbb{R}}^2}\}$, $\mathrm{Ker}(f)={\mathbb{R}}^2$, donc rien à interpréter.
   • Si $r=1$, $\mathrm{Im}(f)$ et $\mathrm{Ker}(f)$ sont des droites vectorielles. Sous l’action de $f$, un vecteur $v$ est projeté sur la droite $\mathrm{Im}(f)$, parallèlement à la droite $\mathrm{Ker}(f)$.
     
   • Si $r=2$: $\mathrm{Im}(f)={\mathbb{R}}^2$ et $\mathrm{Ker}(f)=\{0_{{\mathbb{R}}^2}\}$. Puisque $v-f(v)\in \mathrm{Ker}(f)$, on a donc $v-f(v)=0_{{\mathbb{R}}^2}$, c’est-à-dire $f(v)=v$ pour tout $v\in {\mathbb{R}}^2$. Ceci implique que $f$ n’est rien d’autre que l’application identité, $f={\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^2}$, et sa matrice en base canonique est $A=I_2$.
2. Dans ${\mathbb{R}}^3$:
   • Si $r=0$: $f$ est identiquement nulle, $\mathrm{Im}(f)=\{0_{{\mathbb{R}}^3}\}$, $\mathrm{Ker}(f)={\mathbb{R}}^3$, donc rien à interpréter.

   • Si $r=1$, $\mathrm{Im}(f)$ est une droite vectorielle, et $\mathrm{Ker}(f)$ est un plan vectoriel. Sous l’action de $f$, un vecteur $v$ est projecté sur la droite $\mathrm{Im}(f)$, parallèlement au plan $\mathrm{Ker}(f)$.

     

   • Si $r=2$, $\mathrm{Im}(f)$ est un plan vectoriel, et $\mathrm{Ker}(f)$ est une droite vectorielle. Sous l’action de $f$, un vecteur $v$ est projecté sur le plan $\mathrm{Im}(f)$, parallèlement à la droite $\mathrm{Ker}(f)$.

     
   • Si $r=3$: $\mathrm{Im}(f)={\mathbb{R}}^3$ et $\mathrm{Ker}(f)=\{0_{{\mathbb{R}}^3}\}$. Puisque $v-f(v)\in \mathrm{Ker}(f)$, on a donc $v-f(v)=0_{{\mathbb{R}}^3}$, c’est-à-dire $f(v)=v$ pour tout $v\in {\mathbb{R}}^3$. Ceci implique que $f$ n’est rien d’autre que application identité, $f={\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^3}$, et sa matrice en base canonique est $A=I_3$.

Lorsqu’on étudie une projection, on cherchera donc ses éléments caractéristiques, à savoir les objets géométriques qui lui sont associés: d’abord l’ensemble sur lequel elle projette ($\mathrm{Im}(f)$), puis la direction parallèlement à laquelle se fait la projection ($\mathrm{Ker}(f)$).

Avant de passer aux exemples, une remarque importante. Si $f:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ est une projection, définissons $g:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$ comme suit:

Plus simplement: $g={\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^n}-f$. Remarquons que pour tout $v\in {\mathbb{R}}^n$,

On conclut que $g\circ g=g$, à savoir que $g$ est aussi une projection. Donc on peut lui appliquer la proposition du dessus: $v-g(v)\in \mathrm{Ker}(g)$ pour tout $v\in {\mathbb{R}}^n$, et

l’interprétation géométrique étant: sous l’action de $g$, un vecteur $v$ est projeté sur $\mathrm{Im}(g)$, parallèlement à $\mathrm{Ker}(g)$. Mais $v-g(v)=f(v)$, ce qui mène à la conclusion suivante:

c’est-à-dire

On utilisera ces relations souvent dans la suite, notamment pour calculer les éléments caractéristiques d’une projection.

On verra d’autres exemples après avoir exploré les résultats de la section suivante.

Faisons d’abord une remarque qui peut simplifier le calcul de l’ensemble image d’une projection: