2.5 Plans vectoriels de ℝ³

2.5 Plans vectoriels de $R^{3}$

Définition 2.20.

Soient

v_{1}, v_{2} \in R^{3}

. La partie de $R^{3}$ engendrée par $v_{1}$ et $v_{2}$ est le sous ensemble défini par

Vect {v_{1}, v_{2}} = {t_{1} v_{1} + t_{2} v_{2} : t_{1}, t_{2} \in R} \subset R^{3} .

Si $v_{1} = v_{2} = (0, 0, 0)$ , alors $Vect {v_{1}, v_{2}} = {(0, 0, 0)}$ .
Si $v_{1}$ et $v_{2}$ sont proportionnels, et qu’au moins un des deux est différent de $(0, 0, 0)$ , alors $Vect {v_{1}, v_{2}}$ est une droite vectorielle, de dimension $1$ .
Si $v_{1}$ et $v_{2}$ ne sont pas proportionnels, $Vect {v_{1}, v_{2}}$ est un plan vectoriel, de dimension $2$ , engendré par $v_{1}$ et $v_{2}$ .

Dans un repère avec une origine $O$ , un plan vectoriel se visualise comme l’ensemble des points contenus dans un plan contenant $O$ :

Définition 2.21.

Soit

V

un plan vectoriel de

R^{3}

. La donnée de n’importe quelle paire de vecteurs non-colinéaires

v_{1}, v_{2}

V

forme une base de

V

, notée

B = {v_{1}, v_{2}}

Si $B = {v_{1}, v_{2}}$ est une base du plan vectoriel $V$ , alors pour tout $v \in V$ il existe des iuniques réels $t_{1}, t_{2}$ tels que

v = t_{1} v_{1} + t_{2} v_{2} .

On appelle $t_{1}, t_{2}$ les composantes (ou coordonnées) de $v$ relativement à $B$ , et on écrit

[v]_{B} = (t_{1} t_{2}) .

Attention:

v

est un vecteur de

R^{3}

, mais vu comme un élément du plan

V = Vect {v_{1}, v_{2}}

, il est entièrement déterminé par seulement deux nombres:

t_{1}

t_{2}

2.5.1 Équation cartésienne

Soit $V = Vect {v_{1}, v_{2}}$ un plan vectoriel, où $v_{1} = (α_{1}, α_{2}, α_{3})$ , $v_{2} = (β_{1}, β_{2}, β_{3})$ . Si $v = (x, y, z) \in R^{3}$ , on a

v \in V \Leftrightarrow v est combin. lin. de v_{1}, v_{2} \Leftrightarrow x y z α_{1} α_{2} α_{3} β_{1} β_{2} β_{3} = 0 \Leftrightarrow x = a α_{2} α_{3} β_{2} β_{3} + y = b (- 1) α_{1} α_{3} β_{1} β_{3} + z = c α_{1} α_{2} β_{1} β_{2} = 0

L’équation d’un plan vectoriel $V$ est donc de la forme

a x + b y + cz = 0,

où les coefficients $a, b, c$ se calculent à l’aide des vecteurs de la base choisie pour $V$ .

Exemple 2.23.

Puisque

v_{1} = (1, 0, 1)

v_{2} = (1, - 2, 3)

ne sont pas proportionnels, ils engendrent un plan

V = Vect {v_{1}, v_{2}}

, dont l’équation est

x y z 101 1 - 2 3 = 0,

qui donne

x 01 - 2 3 - y 1113 + z 10 1 - 2 = 0,

c’est-à-dire

2 x - 2 y - 2 z = 0

, que l’on peut simplifier:

x - y - z = 0

. Donc

V = {v = (x, y, z) : x - y - z = 0} .

Inversément, une équation du type “ $a x + b y + cz = 0$ ” définit toujours un plan vectoriel, pour lequel on peut trouver une base.

Exemple 2.24.

Soit

V \subset R^{3}

le sous-ensemble défini par

V = {v = (x, y, z) : 2 x - y + z = 0}

Un point

v \in V

peut s’écrire, en utilisant

y = 2 x + z

v = (x, y, z) = (x, 2 x + z, z) = x = v_{1} (1, 2, 0) + z = v_{2} (0, 1, 1) .

On remarque que

v_{1}

v_{2}

appartiennent à

V

et ne sont pas proportionnels; ils forment donc une base du plan

V

B = {v_{1}, v_{2}}

. Puisque

v = (x, y, z) = x v_{1} + z v_{2}

v

a pour composantes

[v]_{B} = (x z) .

Remarquons qu’on aurait aussi pu écrire

v = (x, y, z) = (x, y, y - 2 x) = x = v_{1}^{'} (1, 0, - 2) + y = v_{2}^{'} (0, 1, 1),

qui donne une autre base

B^{'} = {v_{1}^{'}, v_{2}^{'}}

, relativement à laquelle

v = (x, y, z)

a pour composantes

[v]_{B^{'}} = (x y) .

Voyons comment ces composantes relativement à

B^{'}

peuvent aussi s’obtenir en utilisant un changement de base.
En effet, on voit que les bases

B

B^{'}

sont reliées par

v_{1}^{'} v_{2}^{'} = v_{1} - 2 v_{2} = v_{2},

et donc

(v_{1}^{'} v_{2}^{'}) = (v_{1} v_{2}) = P (1 - 2 01) .

On peut alors calculer, avec

Q = P^{- 1}

[v]_{B^{'}} = Q [v]_{B} = (1201) (x z) = (x 2 x + z) = (x y)

Remarquons encore qu’on peut choisir des bases pour

V

de façon relativement arbitraire, il suffit de choisir deux triplets

(x, y, z)

non-proportionnels, tels que

2 x - y + z = 0

. Par exemple:

v_{1}^{''} = (- 1, 1, 3)

v_{2}^{''} = (1, 1, - 1)

. Dans ce cas, on voit que

v_{1}^{''} v_{2}^{''} = - v_{1} + 3 v_{2} = v_{1} - v_{2},

et donc

[v]_{B^{''}} = (- 1 3 1 - 1)^{- 1} (x z) = (\frac{x + z}{2} \frac{3 x + z}{2})

On peut effectivement vérifier que

\frac{x + z}{2} v_{1}^{''} + \frac{3 x + z}{2} v_{2}^{''} = \frac{x + z}{2} (- 1, 1, 3) + \frac{3 x + z}{2} (1, 1, - 1) = (x, 2 x + z, z) = (x, y, z),

où on a remplacé

2 x + z

par

y

puisque

v \in V

Polycopié rédigé par Mathieu Huruguen, Sacha Friedli. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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2.5.1 Équation cartésienne

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