3.1 Définition et caractérisation

Définition 3.1.

Une application

f : R^{n} \to R^{p}

v \mapsto f (v)

est linéaire si

Pour tous $t \in R$ , $v \in R^{n}$ , $f (t v) = t f (v)$ .
Pour tous $v, v^{'} \in R^{n}$ , $f (v + v^{'}) = f (v) + f (v^{'})$ .

Remarquons que l’on peut écrire les deux conditions en une seule, en disant que $f$ est linéaire si

f (t v + t^{'} v^{'}) = t f (v) + t^{'} f (v^{'}) \forall t, t^{'} \in R, v, v^{'} \in R^{n} .

On dit aussi d’une application linéaire qu’elle respecte les structures vectorielles.

Exemple 3.2.

Soit

f : R^{2} \to R^{2}

définie par

(x_{1}, x_{2}) = v \mapsto f (v) = (x_{1} x_{2}, x_{1} + x_{2}) .

Cette application n’est pas linéaire. En effet, en prenant par exemple

v = (1, 1)

t = 2

, on a

$f (t v) = f (2 (1, 1)) = f (2, 2) = (4, 4)$ ,
$t f (v) = 2 f (1, 1) = 2 (1, 2) = (2, 4)$ ,

et donc

f (t v) \neq = t f (v)

. Donc

f

n’est pas linéaire.

Si $A$ est une matrice $p \times n$ , de coefficients $a_{ij}$ , $1 ⩽ i ⩽ p$ , $1 ⩽ j ⩽ n$ , on peut définir $f : R^{p} \to R^{n}$ comme suit:

(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = v \mapsto f (v) = (f (v)_{1}, f (v)_{2}, \dots, f (v)_{p}),

où pour $k = 1, 2, \dots, p$ ,

f (v)_{k} = j = 1 \sum n a_{k j} x_{j} .

L’application $f$ ainsi définie est dite associée à la matrice $A$ .

Cette façon de définir une application est rendue plus naturelle si on passe par l’utilisation de bases dans les ensembles de départ et d’arrivée. En effet, si on exprime

$v = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})$ dans la base canonique de $R^{n}$ , $[v]_{B_{can}} = x_{1} x_{2} ⋮ x_{n},$
$f (v) = (f (v)_{1}, f (v)_{2}, \dots, f (v)_{p})$ dans la base canonique de $R^{p}$ , $[f (v)]_{B_{can}} = f (v)_{1} f (v)_{2} ⋮ f (v)_{p},$

alors l’application $v \mapsto f (v)$ s’exprime matriciellement par

\in R^{p} [f (v)]_{B_{can}} = \in R^{n} A \in R^{n} [v]_{B_{can}}

On dit que $A$ représente $f$ en base canonique, et on écrit:

[f]_{B_{can}} = A .

Exemple 3.3.

Considérons

A = (25 - 1 3)

, et écrivons exlicitement l’application linéaire

f : R^{2} \to R^{2}

qu’elle représente. Si

v = (x_{1}, x_{2})

, alors

f (v)_{1} f (v)_{2} = j = 1 \sum 2 a_{1 j} x_{j} = a_{11} x_{1} + a_{12} x_{2} = 2 x_{1} - x_{2}, = j = 1 \sum 2 a_{2 j} x_{j} = a_{21} x_{1} + a_{22} x_{2} = 5 x_{1} + 3 x_{2} .

Donc l’application

f : R^{2} \to R^{2}

associée à

A

est

(x_{1}, x_{2}) = v \mapsto f (v) = (2 x_{1} - x_{2}, 5 x_{1} + 3 x_{2})

En base canonique, cette dernière s’exprime par

[f (v)]_{B_{can}} (2 x_{1} - x_{2} 5 x_{1} + 3 x_{2}) = A (25 - 1 3) [v]_{B_{can}} (x_{1} x_{2})

Il se trouve que toutes les applications construites comme ci-dessus à l’aide d’une matrice sont linéaires, et que toute application linéaire est en fait associée à une matrice:

Théorème 3.4.

Soit

f : R^{n} \to R^{p}

. Alors

f

est linéaire si et seulement si elle est associée à une matrice

A \in M_{p, n} (R)

; de plus, les colonnes de

A

sont les composantes des vecteurs

f (e_{1}), \dots, f (e_{p})

relativement à la base canonique de

R^{n}

. Plus exactement:

A = \in M_{p, n} (R) [\in M_{p, 1} (R) [f (e_{1})]_{B_{can}} \in M_{p, 1} (R) [f (e_{2})]_{B_{can}} \dots \in M_{p, 1} (R) [f (e_{n})]_{B_{can}}]

Pour simplifier, considérons le cas particulier d’une application

f : R^{2} \to R^{2}

\Rightarrow

: Supposons que

f

est linéaire. Si

v = (x_{1}, y_{1}) = x_{1} e_{1} + y_{1} e_{2}

, alors la linéarité de

f

implique que

f (v) = f (x_{1} e_{1} + y_{1} e_{2}) = x_{1} f (e_{1}) + y_{1} f (e_{2}) = x_{1} (f (e_{1})_{1}, f (e_{1})_{2}) + y_{1} (f (e_{2})_{1}, f (e_{2})_{2}) = (x_{1} f (e_{1})_{1} + y_{1} f (e_{2})_{1}, x_{1} f (e_{1})_{2} + y_{1} f (e_{2})_{2}),

et donc

[f (v)]_{B_{can}} = (x_{1} f (e_{1})_{1} + y_{1} f (e_{2})_{1} x_{1} f (e_{1})_{2} + y_{1} f (e_{2})_{2}) = (f (e_{1})_{1} f (e_{1})_{2} f (e_{2})_{1} f (e_{2})_{2}) (x_{1} x_{2}),

ce qui montre que

f

est bien associée à la matrice

A = (f (e_{1})_{1} f (e_{1})_{2} f (e_{2})_{1} f (e_{2})_{2}) = [[f (e_{1})]_{B_{can}} [f (e_{2})]_{B_{can}}] .

\Leftarrow

: Inversément, supposons que

f

est associée à la matrice

A = (a c b d)

, ce qui signifie que si

v = (x_{1}, x_{2})

, alors

f (v) = f (x_{1}, x_{2}) = (a x_{1} + b x_{2}, c x_{1} + d x_{2}) .

Donc si

t \in R

, alors

f (t v) = f ((t x_{1}, t x_{2})) = (a t x_{1} + b t x_{2}, c t x_{1} + d t x_{2}) = t (a x_{1} + b x_{2}, c x_{1} + d x_{2}) = t f (v),

et si

v^{'} = (x_{1}^{'}, x_{2}^{'})

f (v + v^{'}) = f (x_{1} + x_{1}^{'}, x_{2} + x_{2}^{'}) = (a (x_{1} + x_{1}^{'}) + b (x_{2} + x_{2}^{'}), c (x_{1} + x_{1}^{'}) + d (x_{2} + x_{2}^{'})) = (a x_{1} + a x_{1}^{'} + b x_{2} + b x_{2}^{'}, c x_{1} + c x_{1}^{'} + d x_{2} + d x_{2}^{'}) = (a x_{1} + b x_{2} + a x_{1}^{'} + b x_{2}^{'}, c x_{1} + d x_{2} + c x_{1}^{'} + d x_{2}^{'}) = (a x_{1} + b x_{2}, c x_{1} + d x_{2}) + (a x_{1}^{'} + b x_{2}^{'}, c x_{1}^{'} + d x_{2}^{'}) = f (v) + f (v^{'})

Donc

f

est linéaire.

□

Exemple 3.5.

Considérons l’application

f : R^{2} \to R^{2}

associée à la matrice

A = (1 - 1 - 1 2),

qui signifie que

(x_{1}, x_{2}) = v \mapsto f (v) = (x_{1} - x_{2}, - x_{1} + 2 x_{2})

Par exemple,

si $v = (1, 0)$ , alors $f (v) = (1, - 1)$ ,
si $v = (- 1, - 1)$ , alors $f (v) = (0, - 1)$ ,
si $v = (\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ , alors $f (v) = (0, \frac{1}{2})$ .

Si on choisit un repère

(O, e_{1}, e_{2})

, on peut visualiser l’application en représentant

v

f (v)

relativement au repère:

Exemple 3.6.

Considérons l’application

f : R^{2} \to R^{2}

associée à la matrice

A = (2002),

qui signifie que

(x_{1}, x_{2}) = v \mapsto f (v) = (2 x_{1}, 2 x_{2}) = 2 v

Géométriquement, cette application s’interprète comme une homothétie de rapport

2

Exemple 3.7.

Considérons l’application

f : R^{2} \to R^{2}

associée à la matrice

A = (1000),

qui signifie que

(x_{1}, x_{2}) = v \mapsto f (v) = (x_{1}, 0)

Nous verrons plus tard pourquoi cette application est appelée une projection.

Exemple 3.8.

Considérons l’application

f : R^{3} \to R^{3}

associée à la matrice

A = - 2 11 31 - 4 1 - 3 2,

qui signifie que

(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = v \mapsto f (v) = (- 2 x_{1} + 3 x_{2} + x_{3}, x_{1} + x_{2} - 3 x_{3}, x_{1} - 4 x_{2} + 2 x_{3})

Deux exemples plus simples, mais importants pour la suite:

Exemple 3.9.

Dans le cas

p = n

, considérons

f : R^{n} \to R^{n}

associée à la matrice identité

I_{n} \in M_{n} (R)

. Dans ce cas,

(x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = v \mapsto f (v) = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = v .

On appelle

f

l’application identité.

Exemple 3.10.

Soit

f : R^{n} \to R^{p}

l’application linéaire associé à la matrice nulle

0 \in M_{p, n} (R)

, qui donne

f (v) = 0

pour tout

v \in R^{n}

(Pas une application très intéressante!)

Polycopié rédigé par Mathieu Huruguen, Sacha Friedli. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

© 2026 Projet Botafogo. En savoir plus.