3.7 Déterminant

Définition 3.35.

f : R^{n} \to R^{n}

est une application linéaire de matrice

A

en base canonique, on définit son déterminant par

det (f) = det (A) .

Dans le cas de $R^{2}$ , on a introduit l’aire orientée du parallélogramme associé à une paire de vecteurs, $σ (v_{1}, v_{2})$ . Rappelons que cette notion dépend d’un choix de repère dans le plan.

Proposition 5.

(

n = 2

) Soit

f : R^{2} \to R^{2}

une application linéaire. Pour tout choix de repère dans

R^{2}

, et pour toute paire

v_{1}, v_{2} \in R^{2}

σ (f (v_{1}), f (v_{2})) = det (f) σ (v_{1}, v_{2}) .

Soit

f : R^{2} \to R^{2}

une application linéaire dont la matrice en base canonique est

A = (a c b d) .

Soient

v_{1} = (x_{1}, y_{1})

v_{2} = (x_{2}, y_{2})

. Dans la base canonique de

R^{2}

v_{1} v_{2} = x_{1} e_{1} + y_{1} e_{2}, = x_{2} e_{1} + y_{2} e_{2},

c’est-à-dire

(v_{1} v_{2}) = (e_{1} e_{2}) P (x_{1} y_{1} x_{2} y_{2})

Ensuite,

f (v_{1}) f (v_{2}) = (a x_{1} + b y_{1}, c x_{1} + d y_{1}) = (a x_{1} + b y_{1}) e_{1} + (c x_{1} + d y_{1}) e_{2} = (a x_{2} + b y_{2}, c x_{2} + d y_{2}) = (a x_{2} + b y_{2}) e_{1} + (c x_{2} + d y_{2}) e_{2},

que l’on peut écrire comme suit:

(f (v_{1}) f (v_{2})) = (e_{1} e_{2}) (a x_{1} + b y_{1} c x_{1} + d y_{1} a x_{2} + b y_{2} c x_{2} + d y_{2}) = (e_{1} e_{2}) A (a c b d) P (x_{1} y_{1} x_{2} y_{2}) = (e_{1} e_{2}) A P

Ceci implique, par le théorème démontré précédemment pour l’aire orientée,

σ (f (v_{1}), f (v_{2})) = det (A P) σ (e_{1}, e_{2}) = (det (A) det (P)) σ (e_{1}, e_{2}) = det (f) (det (P) σ (e_{1}, e_{2})) = det (f) σ (v_{1}, v_{2}) .

□

Exemple 3.36.

Soit

f : R^{2} \to R^{2}

l’application linéaire qui en base canonique a pour matrice

A = (- 1 2/3 1/3 3/2) .

Par la proposition on a, pour toute paire

v_{1}, v_{2}

σ (f (v_{1}), f (v_{2})) = det (f) σ (v_{1}, v_{2}) .

det (f) = det (A) = - \frac{31}{18}

, donc l’effet de

f

sur le parallélogramme associé à

v_{1}, v_{2}

est en particulier d’amplifier l’aire par un facteur

\frac{31}{18} ≃ 1.7222 \dots

, accompagné d’un changement d’orientation (dû à la présence du signe négatif dans le déterminant).

Polycopié rédigé par Mathieu Huruguen, Sacha Friedli. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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