3.5 Ensemble des antécédents

On a défini précédemment l’ensemble image d’une application linéaire $f : R^{n} \to R^{p}$ comme étant l’ensemble des $w \in R^{p}$ pour lesquels il existe au moins antécédent (ou une préimage) de $w$ , à savoir un $v$ tel que $f (v) = w$ .

L’ensemble des antécédents/préimages de $w$ est noté comme suit:

f^{- 1} ({w}) = {v \in R^{n} : f (v) = w}

En d’autres termes, l’ensemble $f^{- 1} ({w})$ n’est rien d’autre que l’ensemble de toutes les solutions $v$ de l’équation $f (v) = w$ .

Remarque 3.26.

La notation “ $f^{- 1} ({w})$ ” peut prêter à confusion puisqu’elle peut laisser croire qu’on est en train de parler d’une application réciproque “ $f^{- 1}$ ” (voir section suivante), mais il n’en est rien!
L’ensemble des antécédents de $w = 0_{R^{p}}$ n’est autre que le noyau de $f$ : $f^{- 1} ({0_{R^{p}}}) = {v \in R^{n} : f (v) = 0_{R^{p}}} = Ker (f) .$

On verra que l’ensemble des antécédents peut contenir plus d’un élément, voir une infinité d’éléments. Sa structure est pourtant simple, puisque c’est une translation du noyau:

Théorème 3.27.

f : R^{n} \to R^{p}

est linéaire, alors

f^{- 1} ({w}) = {\emptyset v_{0} + Ker (f) si w \neq \in Im (f), si w \in Im (f),

où

v_{0}

est une préimage quelconque de

w

On peut formuler ce résultat en disant que l’ensemble des solutions de l’équation $f (v) = w$ est formé d’une solution particulière $v_{0}$ , à laquelle on ajoute n’importe quelle solution de l’équation homogène associée $f (v) = 0_{R^{p}}$ (c’est-à-dire n’importe quel élément du noyau).

w \neq \in Im (f)

, cela implique

f^{- 1} ({w}) = \emptyset

.
Supposons donc que

w \in Im (f)

, c’est-à-dire qu’il existe

v_{0}

tel que

f (v_{0}) = w

. Un élément

v

est un antécédent de

w

si et seulement si

f (v) = w \Leftrightarrow f (v) = f (v_{0}) \Leftrightarrow f (v) - f (v_{0}) = 0_{R^{p}} \Leftrightarrow f (v - v_{0}) = 0_{R^{p}} \Leftrightarrow v - v_{0} \in Ker (f) \Leftrightarrow v \in v_{0} + Ker (f) .

□

Dans le cas $w \in Im (f)$ , le Théorème ci-dessus montre que $f^{- 1} ({w})$ est un sous-espace affine de $R^{n}$ (qui peut, éventuellement, posséder un seul élément, dans le cas où $Ker (f) = {0_{R^{n}}}$ ).

Exemple 3.28.

Considérons l’application

f : R^{2} \to R^{2}

associée, en base canonique, à la matrice

A = (- 1 1/2 2 - 1),

et étudions l’ensemble des antécédents d’un

w \in R^{2}

.
Puisque

det (A) = 0

, on sait que

rg (f) ⩽ 1

. Une décomposition colonne minimale de

A

étant donnée par

A = (- 1 1/2) (1 - 2),

on a, pour tout

v = (x, y)

f (x, y) = (x - 2 y) v_{1} (- 1, 1/2) .

Donc

Im (f)

est la droite vectorielle

Vect {v_{1}}

, et pour ce qui nous intéresse,

Ker (f) = {(x, y) : x - 2 y = 0} = Vect {v_{Ker}},

où

v_{Ker} = (2, 1)

. Par le théorème ci-dessus, l’ensemble des antécédents d’un

w \in R^{2}

est donc

f^{- 1} ({w}) = {\emptyset v_{0} + Ker (f) si w \neq \in Im (f), si w \in Im (f), = {\emptyset v_{0} + Vect {v_{Ker}} si w \neq \in Vect {v_{1}}, si w \in Vect {v_{Ker}},

où

v_{0}

est une préimage quelconque de

w

f (v_{0}) = w

Donc si on prend par exemple $w = (- 2, 1)$ , une préimage $v_{0} = (x_{0}, y_{0})$ doit satisfaire
$f (v_{0}) = f (x_{0}, y_{0}) = (x_{0} - 2 y_{0}) (- 1, 1/2),$
donc on a
$f (v_{0}) = w \Leftrightarrow (x_{0} - 2 y_{0}) (- 1, 1/2) = (- 2, 1) \Leftrightarrow x_{0} - 2 y_{0} = 2 .$
On peut donc prendre par exemple $x_{0} = 0$ , $y_{0} = - 1$ , c’est-à-dire $v_{0} = (0, - 1)$ , et donc dans ce cas
$f^{- 1} ({(- 2, 1)}) = (0, - 1) + Vect {(2, 1)} .$
Si on prend un $w \in Im (f)$ quelconque, de la forme $w = a (- 1, 1/2)$ , alors un $v_{0} = (x_{0}, y_{0})$ est préimage de $w$ si et seulement si
$f (v_{0}) = w \Leftrightarrow (x_{0} - 2 y_{0}) (- 1, 1/2) = a (- 1, 1/2) \Leftrightarrow x_{0} - 2 y_{0} = a .$
On peut donc prendre par exemple $x_{0} = 0$ , $y_{0} = - a /2$ , c’est-à-dire $v_{0} = (0, - a /2)$ , et donc l’ensemble des antécédents de $w = a (- 1, 1/2)$ est la droite affine
$f^{- 1} ({w}) = (0, - a /2) + Vect {(2, 1)} .$

Exemple 3.29.

Considérons l’application linéaire

f : R^{3} \to R^{3}

définie par

(x, y, z) = v \mapsto f (v) = f (x, y, z) = (2 x + y - 3 z, 0, 4 x + 2 y - 6 z),

et étudions l’ensemble des antécédents d’un

w \in R^{3}

.
On commence par chercher

Im (f)

. Pour ce faire, on peut procéder de plusieurs manières.

On peut poser la question comme suit: quels sont les vecteurs $w = (a, b, c)$ pour lesquels il existe au moins un $v = (x, y, z)$ tel que $f (v) = w$ ? En explicitant la contrainte $f (x, y, z) = (a, b, c)$ , on obtient le système
$⎩ ⎨ ⎧ 2 x 4 x + + y 2 y - - 3 z 0 6 z = = = a b c,$
qui après $L_{3} \leftarrow L_{3} - 2 L_{1}$ devient
$⎩ ⎨ ⎧ 2 x + y - 3 z 0 = = = a b c - 2 a .$
Ce dernier possède des solutions si $b = 0$ et $c - 2 a = 0$ , c’est-à-dire si $w$ est de la forme
$w = (a, 0, 2 a) = a (1, 0, 2) .$
Donc tous les $w$ qui peuvent être écrits sous cette forme sont les éléments de $Im (f)$ . En d’autres termes,
$Im (f) = Vect {(1, 0, 2)} .$
Ensuite, lorsque $w \in Im (f)$ , c’est-à-dire lorsqu’il existe un réel $a$ tel que $w = a (1, 0, 2)$ , alors $f^{- 1} ({w})$ s’obtient à partir de la première équation du système ci-dessus: c’est l’ensemble des $v = (x, y, z)$ tels que
$2 x + y - 3 z = a .$
Ainsi, $f^{- 1} ({w})$ est un plan affine, passant par exemple par $v_{0} = (3, a, 2)$ , et parallèle à son plan vectoriel associé, qui n’est autre que
$Ker (f) = {(x, y, z) : 2 x + y - 3 z = 0} = Vect {(0, 3, 1), (1, - 2, 0)}$
Donc
$f^{- 1} ({a (1, 0, 2)}) = (3, a, 2) + Vect {(0, 3, 1), (1, - 2, 0)} .$
On pouvait aussi trouver $Im (f)$ et $Ker (f)$ en suivant la méthode vue dans la section précédente, à savoir de chercher une décomposition colonne-ligne minimale de la matrice associée à $f$ en base canonique,
$A = 204102 - 3 0 - 6 = 102 (21 - 3),$
donc $Im (f) = Vect {(1, 0, 2)}$ et $Ker (f) = {(x, y, z) : 2 x + y - 3 z = 0}$ .

Polycopié rédigé par Mathieu Huruguen, Sacha Friedli. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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