2.10 Plans affines de ℝ³

2.10 Plans affines de $R^{3}$

Définition 2.40.

Soient

v_{0}, w_{1}, w_{2} \in R^{3}

, où

w_{1}

w_{2}

ne sont pas colinéaires. L’ensemble

V = {v_{0} + t_{1} w_{1} + t_{2} w_{2} : t_{1}, t_{2} \in R}

est appelé le plan affine contenant $v_{0}$ , dirigé par $w_{1}$ et $w_{2}$ .

Si $v_{0} = (0, 0, 0)$ , $V$ est le plan vectoriel dirigé par $w_{1}$ et $w_{2}$ .
Si $v_{0} \neq = (0, 0, 0)$ , alors $V$ ne contient (en général) pas l’origine, et n’est (en général) pas un espace vectoriel.
On a $v \in V$ si et seulement si $v - v_{0} \in W = Vect {w_{1}, w_{2}}$ . On appelle $W$ le plan vectoriel associé à $V$ (en gris sur l’animation ci-dessous). On peut donc écrire
$V = v_{0} + W = v_{0} + Vect {w_{1}, w_{2}}$
et interpréter le plan affine $V$ comme une translation (par $v_{0}$ ) de son plan vectoriel associé.

2.10.1 Équation cartésienne

Soit le plan affine $V = v_{0} + Vect {w_{1}, w_{2}}$ , où

v_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}), w_{1} = (α_{1}, α_{2}, α_{3}), w_{2} = (β_{1}, β_{2}, β_{3}) .

Soit $v = (x, y, z)$ . On a

v \in V \Leftrightarrow v - v_{0} \in Vect {w_{1}, w_{2}} \Leftrightarrow x - x_{0} y - y_{0} z - z_{0} α_{1} α_{2} α_{3} β_{1} β_{2} β_{3} = 0 \Leftrightarrow (x - x_{0}) = a α_{2} α_{3} β_{2} β_{3} + (y - y_{0}) = b (- 1) α_{1} α_{3} β_{1} β_{3} + (z - z_{0}) = c α_{1} α_{2} β_{1} β_{2} = 0

Remarquons que l’équation du plan vectoriel associé à $V$ est donnée par

x y z α_{1} α_{2} α_{3} β_{1} β_{2} β_{3} = 0 .

Donc l’équation générale d’un plan affine $V$ est de la forme

a x + b y + cz = d,

où la partie ” $a x + b y + cz$ ” contient l’information nécessaire à connaître les directions de $V$ ( $a x + b y + cz = 0$ étant l’équation du plan vectoriel associé), et le terme constant “ $d$ ” permet de spécifier un point particulier par lequel le plan doit passer: si $v_{0} = (x_{0}, y_{0}, z_{0}) \in V$ , alors $d = a x_{0} + b y_{0} + c z_{0}$ .

Exemple 2.41.

Considérons le plan affine ci-dessous, donné sous la forme paramétrique:

V = {(- 2 + t_{1} + 2 t_{2}, 3 + 3 t_{1} - t_{2}, 1 + t_{1} + 3 t_{2}) ∣ t_{1}, t_{2} \in R} .

Cet ensemble peut se mettre sous la forme

V = {v_{0} + t_{1} w_{1} + t_{2} w_{2} ∣ t_{1}, t_{2} \in R},

où

v_{0} = (- 2, 3, 1) w_{1} = (1, 3, 1), w_{2} = (2, - 1, 3) .

Donc l’équation du plan vectoriel associé

W

est

x y z 131 2 - 1 3 = 0 \Leftrightarrow 10 x - y - 7 z = 0,

et l’équation cartésienne de

V

est

10 x - y - 7 z = 10 \cdot (- 2) - 3 - 7 \cdot 1 = - 30,

c’est-à-dire

V = {v = (x, y, z) ∣ 10 x - y - 7 z = - 30} .

Exemple 2.42.

Considérons le plan affine donné sous forme cartésienne:

V = {v = (x, y, z) ∣ 2 x + y - z = 3},

et écrivons-le sous forme paramétrique. Remarquons qu’il existe une infinité de façons d’écrire ce plan sous forme paramétrique.
On peut commencer par choisir un point quelconque sur ce plan, par exemple

v_{0} = (0, 3, 0)

. Ensuite, on trouve deux directions

w_{1}, w_{2}

en choisissant deux points quelconques (non proportionnels) appartenant au plan vectoriel associé, dont l’équation est

2 x + y - z = 0

. Par exemple:

w_{1} = (0, 1, 1)

w_{2} = (\frac{1}{2}, 0, 1)

. Ainsi,

V = {v_{0} + t_{1} w_{1} + t_{2} w_{2} ∣ t_{1}, t_{2} \in R} .

Polycopié rédigé par Mathieu Huruguen, Sacha Friedli. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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2.10 Plans affines de R3

2.10.1 Équation cartésienne

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