2.8 Interprétation géométrique du déterminant

Considérons deux points $v_{1}, v_{2} \in R^{2}$ . Représentons $v_{1}, v_{2}$ dans un repère du plan, ainsi que le parallélogramme de sommets $O$ , $v_{1}$ , $v_{2}$ et $v_{1} + v_{2}$ :

Définition 2.32.

L’orientation de la paire

v_{1}, v_{2}

est définie par

$Orient (v_{1}, v_{2}) = + 1$ si, dans le parallélogramme, le sens de rotation de $v_{1}$ vers $v_{2}$ est positif.
$Orient (v_{1}, v_{2}) = - 1$ si, dans le parallélogramme, le sens de rotation de $v_{1}$ vers $v_{2}$ est négatif.

On utilise les termes ”positif/négatif” dans le sens trigonométrique (anti-horaire).

L’orientation est une notion qui dépend du repère choisi, ainsi que de l’ordre fixé par la paire:

Orient (v_{2}, v_{1}) = - Orient (v_{1}, v_{2}) .

Définition 2.33.

L’aire orientée du parallélogramme défini par

v_{1}

v_{2}

est définie par

σ (v_{1}, v_{2}) := Orient (v_{1}, v_{2}) \times aire du parall \overset{e}{ˊ} logramme

Proposition 4.

(Propriétés de l’aire orientée) Pour tous

v_{1}, v_{2}

, et tout repère du plan,

$σ (v_{2}, v_{1}) = - σ (v_{1}, v_{2})$
$σ (α v_{1}, v_{2}) = α σ (v_{1}, v_{2})$ pour tout $α \in R$
$σ (v_{1}, β v_{2}) = β σ (v_{1}, v_{2})$ pour tout $β \in R$
$σ (v_{1} + μ v_{2}, v_{2}) = σ (v_{1}, v_{2})$ pour tout $μ \in R$
$σ (v_{1}, v_{2} + μ v_{1}) = σ (v_{1}, v_{2})$ pour tout $μ \in R$

Si $(v_{1}, v_{2})$ est changé en $(v_{2}, v_{1})$ , l’orientation de la paire change de signe, $Orient (v_{2}, v_{1}) = - Orient (v_{1}, v_{2})$ , mais le parallélogramme est le même donc son aire ne change pas, donc $σ (v_{2}, v_{1}) = - σ (v_{1}, v_{2})$ .
Si $α = 0$ , il n’y a rien à démontrer. Si $α > 0$ , l’orientation ne change pas mais l’aire du parallélogramme est multipliée par $α$ . Si $α < 0$ , l’orientation change $Orient (α v_{1}, v_{2}) = - Orient (v_{1}, v_{2})$ , et l’aire est multipliée par $∣ α ∣$ , donc $σ (α v_{1}, v_{2}) = - ∣ α ∣ σ (v_{1}, v_{2}) = α σ (v_{1}, v_{2}) .$
En utilisant les deux premiers points, $σ (v_{1}, β v_{2}) = - σ (β v_{2}, v_{1}) = - β σ (v_{2}, v_{1}) = β σ (v_{1}, v_{2}) .$
Lorsque $v_{1}$ est changé en $v_{1} + μ v_{2}$ , le parallélogramme subit une transformation qui ne change ni l’orientation, ni l’aire:
Même argument qu’au point précédent.

□

Finalement, voyons comment l’aire orientée est affectée par un changement quelconque, où $v_{1}, v_{2}$ est transformé en une nouvelle paire $v_{1}^{'}, v_{2}^{'}$ ,

v_{1}^{'} v_{2}^{'} = a v_{1} + b v_{2} = c v_{1} + d v_{2},

c’est-à-dire

(v_{1}^{'} v_{2}^{'}) = (v_{1} v_{2}) M, avec M = (a b c d) .

(Cette transformation n’étant pas forcément inversible.)

Théorème 2.34.

(v_{1}^{'} v_{2}^{'}) = (v_{1} v_{2}) M

, alors

σ (v_{1}^{'}, v_{2}^{'}) = det (M) σ (v_{1}, v_{2}) .

Supposons que

(v_{1}^{'} v_{2}^{'}) = (v_{1} v_{2}) M

. Si

M = (0000)

, il n’y a rien à démontrer puisque dans ce cas

v_{1}^{'} = v_{2}^{'} = (0, 0)

(donc

σ (v_{1}^{'}, v_{2} 0)

=0), et

det (M) = 0

.
Si on suppose que

M

n’est pas nulle, c’est qu’au moins un de ses coefficients est non-nul. Sans perte de généralité, supposons que

d \neq = 0

. Dans ce cas la quatrième propriété permet d’écrire

σ (v_{1}^{'}, v_{2}^{'}) = σ (v_{1}^{'} - \frac{b}{d} v_{2}^{'}, v_{2}^{'}) = σ ((a v_{1} + b v_{2}) - \frac{b}{d} (c v_{1} + d v_{2}), v_{2}^{'}) = σ ((a - \frac{b c}{d}) v_{1}, v_{2}^{'}) = (a - \frac{b c}{d}) σ (v_{1}, v_{2}^{'}),

où on a utilisé la deuxième propriété dans la dernière ligne. On poursuit en faisant quelque chose de semblable avec

v_{2}^{'}

; en utilisant la cinquième propriété,

σ (v_{1}, v_{2}^{'}) = σ (v_{1}, v_{2}^{'} - c v_{1}) = σ (v_{1}, (c v_{1} + d v_{2}) - c v_{1}) = σ (v_{1}, d v_{2}) = d σ (v_{1}, v_{2}),

où la troisième propriété a été utilisée dans la dernière ligne. On a donc montré que

σ (v_{1}^{'}, v_{2}^{'}) = (a - \frac{b c}{d}) σ (v_{1}, v_{2}^{'}) = (a d - b c) σ (v_{1}, v_{2}) = det (M) σ (v_{1}, v_{2})

□

Exemple 2.35.

Dans un repère fixé, considérons le parallélogramme associé à

v_{1} = (- 1, 1)

v_{2} = (1, 2)

, vu comme une déformation de celui associé aux points de la base canonique

e_{1} = (1, 0)

e_{2} = (0, 1)

. Dans ce cas, on a donc

(v_{1} v_{2}) = (e_{1} e_{2}) (- 1 1 12),

et le théorème ci-dessus implique donc que

σ (v_{1}, v_{2}) = det (M) σ (e_{1}, e_{2}) = (- 3) σ (e_{1}, e_{2})

Dans cette dernière, on peut interpréter

le signe “ $-$ ” comme venant du fait que la transformation $e_{1}, e_{2} \mapsto v_{1}, v_{2}$ change l’orientation du parallélotramme, et
le “ $3$ ” comme étant simplement la constante de proportionnalité entre l’aire du parallélogramme associé à $v_{1}, v_{2}$ et celle associée à $e_{1}, e_{2}$ .

On voit que ces propriétés ne dépendent pas du repère choisi:

Remarque 2.36.

Si on ignore les orientations, le théorème ci-dessus peut s’écrire comme une formule pour le changement d’aire sous l’action d’une matrice:

aire (v_{1}^{'}, v_{2}^{'}) = ∣ det (M) ∣ aire (v_{1}, v_{2}) .

Cette formule est utilisée dans le calcul intégral des fonctions de deux variables. Dans ce cadre, le facteur de conversion

∣ det (M) ∣

est appelé Jacobien.

Polycopié rédigé par Mathieu Huruguen, Sacha Friedli. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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