Dans cette section, on étudie les applications linéaires $f:{\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ dont l’effet se visualise, dans un repère orthonormé, par une réflexion d’axe donné:

On voit qu’une telle transformation est un cas particulier de symétrie, dans laquelle la symétrie se fait perpendiculairement à l’axe.

On considère, dans un repère orthonormé, un axe représenté par une droite passant par l’origine, faisant un angle $\varphi$ avec l’horizontale.

Pour trouver la matrice associée à la réflexion par cet axe, il suffit de considérer l’effet de la réflexion $f$ sur les vecteurs de la base canonique:

On voit que

1. $f(e_1)=v_{2\varphi }$,
2. $f(e_2)=v_{\varphi -(\frac{\pi }{2}-\varphi )}=v_{2\varphi -\frac{\pi }{2}}$,

et donc la matrice associée à $f$ est, en base canonique,

Posons $S_{\theta }=\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta )& \sin (\theta )\\ \sin (\theta )& -\cos (\theta )\end{array}\right)$. Comme

$S_{\theta }$ est un cas particulier de matrice de symétrie.

Par ce qui précède, on sait que dans un repère orthonormé, une réflexion $f$ de matrice $S_{\theta }$ se visualise comme agissant sur les vecteurs du plan par une réflexion dont l’axe est dirigié par $v_{\varphi }$, avec

Puisque une réflexion $f$ est un cas particulier de symétrie ($f\circ f={\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^2}$), on sait trouver ses éléments caractéristiques: la réflexion se fait par rapport à $\mathrm{Im}(g)$, parallèlement à $\mathrm{Ker}(g)$, où $g=\frac{1}{2}({\mathrm{id}}_{{\mathbb{R}}^2}+f)$ est la projection associée à $f$. Ainsi, si $f$ a pour matrice $S_{\theta }$, la matrice de $g$ est

(On a utilisé les les formules pour $\cos (2x)$, $\sin (2x)$, voir Analyse A.) Cette dernière décomposition colonne-ligne de $G$ montre que $\mathrm{Im}(g)=\mathrm{Vect}\{v_{\theta /2}\}$, qui est bien l’axe de la réflexion $f$, et que

qui montre que la symétrie se fait bien selon une direction perpendiculaire à l’axe: