Dans ce chapitre, nous décrirons certains sous-ensembles particuliers des espaces

Dans ce cours, nous serons surtout intéressés par les cas ${\mathbb{R}}^2$ et ${\mathbb{R}}^3$.

Dans la section suivante, nous introduirons certains sous-ensemble de ${\mathbb{R}}^n$, à savoir droites et plans, vectoriels ou affines. La description introduite sera ensuite utilisée plus tard l’étude de certains objets utiles à l’étude des applications linéaires (tels que l’ensemble image, le noyau, l’ensemble des antécédents, etc.)

2.1.1 Opérations et combinaisons linéaires

Les espaces ${\mathbb{R}}^k$ sont munis de deux opérations qui font d’eux des espaces vectoriels, ce qui signifie que l’on peut:

1. additionner des éléments: si

   $$\begin{array}{rl}v& =(v_1,v_2,\dots ,v_k)\in {\mathbb{R}}^k,\\ v^{\prime }& =(v_1^{\prime },v_2^{\prime },\dots ,v_k^{\prime })\in {\mathbb{R}}^k\end{array}$$

   alors $v+v^{\prime }\in {\mathbb{R}}^k$ est défini par

   $$v+v^{\prime }=\left(v_1+v_1^{\prime },v_2+v_2^{\prime },\dots ,v_k+v_k^{\prime }\right)$$
2. multiplier un élément par un scalaire: si $v=(v_1,v_2,\dots ,v_k)\in {\mathbb{R}}^k$ et $\lambda \in \mathbb{R}$, alors $\lambda v\in {\mathbb{R}}^k$ est défini par$$\lambda v=\left(\lambda v_1,\lambda v_2,\dots ,\lambda v_k\right)$$

Dorénavant les points de ${\mathbb{R}}^k$ seront aussi appelés vecteurs.

2.1.2 Visualisation de ${\mathbb{R}}^k$

Pour visualiser et interpréter géométriquement plusieurs des notions qui seront introduites dans ce cours, on représentera les vecteurs de ${\mathbb{R}}^k$ en faisant des choix de repère.

Dans ${\mathbb{R}}^2$ par exemple, un choix de repère une fois qu’on a un triplet de trois points distincts $(O,A,B)$ non-alignés, où $O$ est appelé l’origine.

Dans ce repère, un point $v=(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ peut être représenté par un point $P_v$, construit comme-suit:

Ci-dessus, on a construit $P_v$, relativement au repère, en

• amplifiant $OA$ par un facteur $x$, pour obtenir $O{A}^{\prime }$,
• amplifiant $OB$ par un facteur $y$, pour obtenir $O{B}^{\prime }$,
• en plaçant $P_v$ de façon à ce que $O{A}^{\prime }{P}_v{B}^{\prime }$ soit un parallélogramme.

Dans la suite, pour ne pas trop allourdir les notations dans les représentations comme celle du dessus, nous noterons directement “$v$” au lieu de “$P_v$”, en gardant bien à l’esprit que l’objet $v$ existe indépendamment de la visualisation que l’on a une fois un repère choisi.

Les deux opérations (addition et multiplication par un scalaire) permettent de définir les combinaisons linéaires de vecteurs $v,v^{\prime }$, avec coefficients $\lambda ,{\lambda }^{\prime }\in \mathbb{R}$:

Un repère permet alors de visualiser $v,v^{\prime }$, et toutes leurs combinaisons linéaires obtenues en variant $\lambda$ et ${\lambda }^{\prime }$ (le repère n’est pas représenté sur cette animation):

Le cas $\lambda ={\lambda }^{\prime }=1$ donne la combinaison linéaire particulière $v+v^{\prime }$, dont la construction est souvent appelée règle du parallélogramme.

De même, un repère de l’espace signifie un choix de quatre points distincts $(O,A,B,C)$ non-coplanaires dans l’espace, où $O$ est appelé l’origine.