La plupart des notions vues précédemment pour les droites vectorielles dans ${\mathbb{R}}^2$ s’adaptent sans peine à ${\mathbb{R}}^3$.

• Si $v=(0,0,0)$, alors $tv=(0,0,0)$ pour tout $t\in \mathbb{R}$, et donc $V$ ne contient qu’un seul point:$$\mathrm{Vect}\{v\}=\{(0,0,0)\}$$
• Si $v\ne (0,0,0)$, alors les multiples $tv$ sont tous différents, et on appelle $\mathrm{Vect}\{v\}$ la droite vectorielle engendrée par $v$.

Dans un repère, $V=\mathrm{Vect}\{v\}$ se visualise alors comme l’ensemble des points sur la droite passant par l’origine du repère et par $v$:

2.4.1 Bases d’une droite vectorielle $V$ dans ${\mathbb{R}}^3$

Si $\mathcal{B}=\{w\}$ est une base de $V$, alors pour tout $v\in V$, il existe un unique réel $t$ tel que

On appelle $t$ la composante (ou coordonnée) de $v$ relativement à $\mathcal{B}$, et on écrit

2.4.2 Équations cartésiennes

Rappelons que pour décrire une droite vectorielle dans ${\mathbb{R}}^2$, une seule équation suffisait: $x{\alpha }_2=y{\alpha }_1$. Pour décrire une droite dans ${\mathbb{R}}^3$, il faut deux équations. Voyons pourquoi.

Soit $V=\mathrm{Vect}\{w\}$ une droite vectorielle, où on suppose que $w=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\ne (0,0,0)$.

Si $v=(x,y,z)\in V$, cela signifie que $v$ et $w$ sont proportionnels. On peut exprimer cette proportionnalité de deux manières (équivalentes).

1. Si $v=(x,y,z)\in V$, cela signifie qu’il existe $t\in \mathbb{R}$ tel que $v=tw$, ce qui s’écrit

   $$(x,y,z)=(t{\alpha }_1,t{\alpha }_2,t{\alpha }_3)\iff \{\begin{array}{c}x=t{\alpha }_1\\ y=t{\alpha }_2\\ z=t{\alpha }_3\end{array}$$

   Pour ne plus avoir $t$ dans la description, et n’avoir que les dépendances explicites entre $x,y$ et $z$, il faut considérer les divers cas possibles.

   • Cas ${\alpha }_1\ne 0$, ${\alpha }_2\ne 0$, ${\alpha }_3\ne 0$: Dans ce cas, les trois manières d’exprimer $t$ en fonction de $x,y,z$ respectivement mènent à

     $$\frac{x}{{\alpha }_1}=\frac{y}{{\alpha }_2}=\frac{z}{{\alpha }_3}$$

     Remarquons que ce sont bien deux identités qui doivent être satisfaites: $\frac{x}{{\alpha }_1}=\frac{y}{{\alpha }_2}$ et $\frac{y}{{\alpha }_2}=\frac{z}{{\alpha }_3}$.

   • Cas ${\alpha }_1=0$, ${\alpha }_2\ne 0$, ${\alpha }_3\ne 0$:$$x=0,\frac{y}{{\alpha }_2}=\frac{z}{{\alpha }_3}$$
   • Cas ${\alpha }_1\ne 0$, ${\alpha }_2=0$, ${\alpha }_3\ne 0$:$$y=0,\frac{x}{{\alpha }_1}=\frac{z}{{\alpha }_3}$$
   • Cas ${\alpha }_1\ne 0$, ${\alpha }_2\ne 0$, ${\alpha }_3=0$:$$z=0,\frac{x}{{\alpha }_1}=\frac{y}{{\alpha }_2}$$
   • Cas ${\alpha }_1\ne 0$, ${\alpha }_2=0$, ${\alpha }_3=0$:$$y=0,z=0,x\text{ arbitraire}$$
   • Cas ${\alpha }_1=0$, ${\alpha }_2\ne 0$, ${\alpha }_3=0$:$$x=0,z=0,y\text{ arbitraire}$$
   • Cas ${\alpha }_1=0$, ${\alpha }_2=0$, ${\alpha }_3\ne 0$:$$x=0,y=0,z\text{ arbitraire}$$

   Ci-dessus, quand on dit “$x$ arbitraire”, cela signifie qu’il n’y a aucune contrainte sur $x$.

2. On peut aussi voir le problème comme suit: le point $v=(x,y,z)$ appartient à la droite $V=\mathrm{Vect}\{w\}$ si et seulement si $v$ et $w$ sont proportionnels, ce qui est équivalent à

   $$\begin{array}{rl}\mathrm{rg}& \left(\begin{array}{cc}x& {\alpha }_1\\ y& {\alpha }_2\\ z& {\alpha }_3\end{array}\right)⩽1\\ & \iff \left|\begin{array}{cc}x& {\alpha }_1\\ y& {\alpha }_2\end{array}\right|=0,\left|\begin{array}{cc}y& {\alpha }_2\\ z& {\alpha }_3\end{array}\right|=0,\left|\begin{array}{cc}x& {\alpha }_1\\ z& {\alpha }_3\end{array}\right|=0.\end{array}$$

   On peut vérifier que ces trois relations sont bien équivalentes aux équations décrites plus haut.