3.8 Structure vectorielle

Dans cette section, on voit comme une structure d’espace vectoriel (addition et multiplication par des scalaires) peut aussi être définie sur les applications linéaires elles-mêmes.

Définition 3.37.

Soient

f, g : R^{n} \to R^{p}

deux applications linéaires, et

λ \in R

. On définit:

l’application $f + g : R^{n} \to R^{p}$ , par $(f + g) (v) = f (v) + g (v) \forall v \in R^{n},$
l’application $λ f : R^{n} \to R^{p}$ , par $(λ f) (v) = λ f (v) \forall v \in R^{n} .$

Lemme 2.

f

g

sont respectivement associées, en base canonique, aux matrices

A

B

, alors

$f + g$ est linéaire, associée à $A + B$ , et
$λ f$ est linéaire, associée à $λ A$ .

Par exemple, si

v, v^{'} \in R^{n}

α, α^{'} \in R

, alors

(λ f) (α v + α^{'} v^{'}) = λ f (α v + α^{'} v^{'}) = λ (α f (v) + α^{'} f (v^{'})) = λ α f (v) + λ α^{'} f (v^{'}) = α λ f (v) + α^{'} λ f (v^{'}) = α (λ f) (v) + α^{'} (λ f) (v^{'}),

(où on a utilisé la linéarité de

f

dans la deuxième égalité) donc

λ f

est linéaire. Pour trouver sa matrice, remarquons que

[(λ f) (v)]_{B_{can}} = [λ f (v)]_{B_{can}} = λ [f (v)]_{B_{can}} = λ (A [v]_{B_{can}}) = (λ A) [v]_{B_{can}}

On démontre le premier point de manière similaire.

□

Voyons maintenant comment se comporte l’ensemble image d’une applications linéaires sous l’effet d’une addition à une autre application linéaire, en examinant le rang:

Proposition 6.

Soient

f, g : R^{n} \to R^{p}

deux applications linéaires, et

λ \in R

. Alors

$rg (f + g) ⩽ rg (f) + rg (g)$ , et
$rg (λ f) = {0 rg (f) si λ = 0, si λ \neq = 0 .$

Supposons que $f$ (resp. $g$ ) est associée à $A$ (resp. $B$ ) en base canonique. Si $rg (f) = r$ et $rg (g) = q$ , alors il existe une décomposition colonne-ligne minimale pour $A$ à $r$ termes,
$A = C_{1} L_{1} + C_{2} L_{2} + \dots + C_{r} L_{r},$
ainsi qu’une décomposition colonne-ligne minimale pour $B$ à $q$ termes,
$B = C_{1}^{'} L_{1}^{'} + C_{2}^{'} L_{2}^{'} + \dots + C_{q}^{'} L_{q}^{'} .$
Donc la matrice de $f + g$ étant $A + B$ , elle s’écrit
$C_{1} L_{1} + \dots + C_{r} L_{r} + C_{1}^{'} L_{1}^{'} + \dots + C_{q}^{'} L_{q}^{'} .$
Cette dernière est une décomposition colonne-ligne de $A + B$ , à $r + q$ termes. Comme elle n’est pas forcément minimale, cela signifie bien que $rg (f + g) ⩽ r + q$ .
Remarquons que pour tout $λ$ , $Im (λ f) = {λ f (v) : v \in R^{n}} = {{0_{R^{p}}} Im (f) si λ = 0, si λ \neq = 0 .$

□

Remarquons qu’il n’y a pas de résultat général permettant d’exprimer...

... $Im (f + g)$ en fonction de $Im (f)$ et $Im (g)$ ,
... $Ker (f + g)$ en fonction de $Ker (f)$ et $Ker (g)$ ,
... $det (f + g)$ en fonction de $det (f)$ et $det (g)$ (dans le cas $R^{n} \to R^{n}$ ).

On peut se rendre compte sur quelques exemples qu’effectivement, aucune relation universelle simple (égalité ou inégalité) ne peut exister entre les déterminants $det (f + g)$ , $det (f)$ et $det (g)$ :

Exemple 3.38.

Soient

f, g : R^{2} \to R^{2}

, avec

f

(resp.

g

) de matrice

A

(resp.

B

) en base canonique.

Si $A = (1300)$ , $B = (0024)$ , alors $A + B = (1324)$ , et $= 2 rg (f + g) = - 2 det (f + g) = = 1 rg (f) + = 1 rg (g) < = 0 det (f) + = 0 det (g) .$
Si $A = (1300)$ , $B = (0026)$ , alors $A + B = (1326)$ , et $= 1 rg (f + g) = 0 det (f + g) < = 1 rg (f) + = 1 rg (g) = = 0 det (f) + = 0 det (g) .$
Si $A = (1200)$ , $B = (0126)$ , alors $A + B = (1326)$ , et $= 1 rg (f + g) = 0 det (f + g) < = 1 rg (f) + = 2 rg (g) > = 0 det (f) + = - 2 det (g) .$
Si $A = (1234)$ , $B = (- 1 - 2 - 3 - 4)$ , alors $A + B = (0000)$ , et $= 0 rg (f + g) = 0 det (f + g) < = 2 rg (f) + = 2 rg (g) > = - 2 det (f) + = - 2 det (g) .$

Tous les exemples listés ci-dessus vérifient $rg (f + g) ⩽ rg (f) + rg (g)$ , ce qui était garanti par la proposition démontrée plus haut, mais on voit qu’il n’y a pas d’inégalité qui relie $det (f + g)$ à $det (f) + det (g)$ .

Ce qu’on peut démontrer, par contre:

Théorème 3.39.

f : R^{n} \to R^{n}

est linéaire, alors

det (λ f) = λ^{n} det (f) .

Polycopié rédigé par Mathieu Huruguen, Sacha Friedli. Sauf indication contraire, le contenu de ce document est soumis à une licence Creative Commons internationale, Attribution - Utilisation non commerciale - Partage dans les mêmes conditions 4.0 International (CC BY-NC-SA 4.0).

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